[수치해석] Cramer's rule (크래머 공식)

이번 포스팅에서는 선형대수방정식에서 각 해를 구할 때 유용한 방법인

 

Cramer's rule(크래머 공식)에 대해 알아봅시다.

(출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저)

 Cramer's rule

이 방법은 연립 선형대수방정식에서 각 미지수를 행렬의 determinant와

 

각 계수, 상수항의 값으로 구성되는 식으로 표현하여 해를 구하는 방법입니다.

 

예를 들어 아래와 같은 미지수 3개, 식이 3개인 선형대수방정식이 있다고 가정하면

 

$$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}$$

$$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}$$

$$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}$$

 

이 때 미지수 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$는 아래와 같이 계산됩니다.

 

$$x_{1}=Det\begin{bmatrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}/D$$

$$x_{2}=Det\begin{bmatrix} b_{1} & a_{11} & a_{13} \\b_{2} & a_{21} & a_{23} \\ b_{3} & a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}/D$$

$$x_{3}=Det\begin{bmatrix} b_{1} & a_{11} & a_{12} \\b_{2} & a_{21} & a_{22} \\ b_{3} & a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}/D$$

 

여기서 $D$는 아래와 같습니다.

 

$$D = a_{11}Det\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} - a_{12}Det\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} + a_{13}Det\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} $$

 

즉, 각 미지수의 계수를 제외한 나머지 계수로 3x3 행렬을 구성하여

 

그 행렬값을 원래의 행렬값으로 나누는 것입니다.

 

행렬의 determinant를 구하는 방법에 대해서는 아래 포스팅에 설명해두었으니

 

필요하시면 참고하세요!

[선형대수학] 행렬식(Determinant)

 

 

여기까지 선형대수방정식의 해를 구하는 방법 중 하나인

 

Cramer's rule에 대해 알아보았습니다.