[열역학] 이상기체의 상태변화

이번 포스팅에서는 이상기체에서의 상태변화에 대해 알아봅시다.

 

 이상기체에서 정적비열($C_{v}$)과 정압비열($C_{p}$)의 관계

이상기체에서 정적비열과 정압비열의 관계는 아래와 같습니다.

 

$$C_{p}-C_{v}=R$$

 

여기서 $R$은 기체 상수입니다.

 

그리고 비열비 $k=\frac{C_{p}}{C_{v}}$ 이므로 

 

$C_{p}=kC_{v}$이고, $kC_{v}-C_{v}=R$입니다.

 

따라서 정적비열과 정압비열을 각각 기체상수와 비열비로 나타내면

 

$$C_{v}=\frac{R}{k-1}$$

$$C_{p}=\frac{kR}{k-1}$$

 

이 됩니다.

 

 정적변화(Isochoric change)

$p, v, T$ 관계

정적변화에서는 부피 $v=C$입니다. 즉, $dv=0$ 입니다.

 

그러면 이상기체 상태방정식 $pV=mRT$에서 $p$와 $T$빼곤 모두 상수가 되죠.

 

따라서 $\frac{p}{T}=C$입니다. 즉, $\frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}$

 

절대일

절대일은 $w_{1,2}=\int_{1}^{2}pdv$인데, 여기서 $dv=0$이므로

 

절대일은 0입니다.

 

공업일

공업일은 다음과 같이 정의됩니다.

$$w_{t}=-\int_{1}^{2}vdp=v(p_{1}-p_{2})=R(T_{1}-T_{2})$$

 

내부에너지 변화 $\triangle u$

$du=C_{v}dT$이므로 내부에너지 변화 $\triangle u$는 아래와 같습니다.

$$\triangle u=C_{v}(T_{2}-T_{1})$$

 

엔탈피 변화 $\triangle h$

$dh=C_{p}dT$이므로 엔탈피 변화 $\triangle h$는 아래와 같습니다.

$$\triangle h = C_{p}(T_{2}-T_{1})=kC_{v}(T_{2}-T_{1})=k\triangle u$$

 

열량 $q_{1,2}$

$\delta q=du+pdv$에서 $dv=0$이므로

$$q_{1,2}=u_{2}-u_{1}$$

 

 정압변화(Isobaric change)

$p, v, T$ 관계

정압변화에서는 압력 $p=C$입니다. 즉, $dp=0$ 입니다.

 

그러면 이상기체 상태방정식 $pV=mRT$에서 $v$와 $T$빼곤 모두 상수가 되죠.

 

따라서 $\frac{v}{T}=C$입니다. 즉, $\frac{v_{1}}{T_{1}}=\frac{v_{2}}{T_{2}}$

 

절대일

절대일은 $w_{1,2}=\int_{1}^{2}pdv$입니다. 따라서

$$w_{1,2}=\int_{1}^{2}pdv=p(v_{2}-v_{1})=R(T_{2}-T_{1})$$

 

공업일

공업일은 다음과 같이 정의됩니다.

$$w_{t}=-\int_{1}^{2}vdp$$

 

그런데 정압변화에서 $dp=0$이므로 공업일도 0이 됩니다.

 

내부에너지 변화 $\triangle u$

$du=C_{v}dT$이므로 내부에너지 변화 $\triangle u$는 아래와 같습니다.

$$\triangle u=C_{v}(T_{2}-T_{1})$$

 

엔탈피 변화 $\triangle h$

$dh=C_{p}dT$이므로 엔탈피 변화 $\triangle h$는 아래와 같습니다.

$$\triangle h = C_{p}(T_{2}-T_{1})=kC_{v}(T_{2}-T_{1})=k\triangle u$$

 

열량 $q_{1,2}$

$\delta q=du+pdv=dh-vdp$에서 $dp=0$이므로

$$q_{1,2}=h_{2}-h_{1}$$

 

 등온변화(Isothermal change)

$p, v, T$ 관계

등온변화에서는 온도 $T=C$입니다. 즉, $dT=0$ 입니다.

 

그러면 이상기체 상태방정식 $pV=mRT$에서 $p$와 $v$빼곤 모두 상수가 되죠.

 

따라서 $pv=C$입니다. 즉, $p_{1}v_{1}=p_{2}v_{2}$

 

절대일, 공업일, 열량

등온변화에서는 절대일, 공업일, 열량이 같습니다. 즉,

$$q_{1,2}=w_{1,2}=w_{t}=RT\ln \frac{v_{2}}{v_{1}}=RT\ln \frac{p_{1}}{p_{2}}$$

 

내부에너지 변화 $\triangle u$

$du=C_{v}dT$인데 $dT=0$이므로 내부에너지 변화는 0입니다.

 

엔탈피 변화 $\triangle h$

$dh=C_{p}dT$인데 $dT=0$이므로 엔탈피의 변화 또한 0입니다.

 

 단열변화(Adiabatic change)

$p, v, T$ 관계

$$p_{1}v_{1}^{k}=p_{2}v_{2}^{k} \tag{1}$$

$$T_{1}v_{1}^{k-1}=T_{2}v_{2}^{k-1} \tag{2}$$

 

식 (1)과 (2)를 연립하여 정리하면 $p, v, T$ 관계는 다음과 같습니다.

$$\frac{T_{2}}{T_{1}}=(\frac{v_{1}}{v_{2}})^{k-1}=(\frac{p_{2}}{p_{1}})^{\frac{k-1}{k}}$$

 

여기서 $k$는 비열비($C_{p}/C_{v}$)입니다.

 

절대일

절대일은 다음과 같이 정의됩니다.

$$w_{1,2}=\frac{R}{k-1}(T_{1}-T_{2})$$

 

공업일

공업일은 다음과 같이 정의됩니다.

$$w_{t}=\frac{kR}{k-1}(T_{1}-T_{2})=kw_{1,2}$$

 

내부에너지 변화 $\triangle u$

$du=C_{v}dT$이므로 내부에너지 변화 $\triangle u$는 아래와 같습니다.

$$\triangle u=C_{v}(T_{2}-T_{1})$$

 

여기서 $C_{v}=\frac{R}{k-1}$이므로 $\triangle u=\frac{R}{k-1}(T_{2}-T_{1})=-w_{1,2}$

 

즉, 내부에너지 변화량은 절대일량의 값과 같습니다.

 

엔탈피 변화 $\triangle h$

$dh=C_{p}dT$이므로 엔탈피 변화 $\triangle h$는 아래와 같습니다.

$$\triangle h = C_{p}(T_{2}-T_{1})=kC_{v}(T_{2}-T_{1})=k\triangle u$$

 

즉, 엔탈피의 변화량은 공업일량의 값과 같습니다.

 

열량 $q_{1,2}$

단열변화에서 $q=C, dq=0$이므로 열의 이동은 없습니다.