[수치해석] 오일러(Euler)법

이번 포스팅에서는 미분방정식을 푸는 방법 중 하나인

 

오일러(Euler)법에 대하여 알아봅시다.

(출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저)

 오일러(Euler)법

오일러법은 초기값과 $i$번째 1차 도함수의 기울기를 이용하여 

 

$i+1$번째 함수값을 예측하기 위한 방법입니다.

 

식과 그림으로 나타내자면 아래와 같습니다.

 

$$y_{i+1} = y_i +f(t_i,y_i)h$$

 

식과 그래프를 보면 알 수 있다시피

 

시간격 h에 대하여 선형외삽하는 방법입니다.

 

 오일러(Euler)법의 오차 분석

오차 분석을 위해 오일러법을 유도하기 위한 Taylor급수 전개를 살펴봅시다.

 

$$y_{i+1}=y_i+y'_i h+\frac{y''_i}{2!}h^2+...+\frac{y^n _i}{n!}h^n$$

 

위에서 $y'_i=f(t_i,y_i)$로 나타내었으므로 다시 쓰면

 

$$y_{i+1}=y_i+f(t_i,y_i) h+\frac{f'(t_i,y_i)}{2!}h^2+...+\frac{f^{n-1}(t_i,y_i)}{n!}h^n$$

 

오일러법은 테일러급수의 2계 도함수 이상의 항들은 모두 소거하여 사용하지 않으므로

 

절단오차는 아래와 같습니다.

 

$$E_t = \frac{f'(t_i,y_i)}{2!}h^2+...+\frac{f^{n-1}(t_i,y_i)}{n!}h^n$$

 

하지만 만약 시간격 $h=t_{i+1}-t_i$가 충분히 작다면 고차항은 무시할 수 있으므로

 

절단오차는 아래와 같이 근사할 수 있습니다.

 

$$E_a = \frac{f'(t_i,y_i)}{2!}h^2=O(h^2)$$

 

이를 근사절단오차라 하며,

 

그 크기는 원함수의 2차 도함수 혹은 미분방정식의 1차 도함수에 비례하며

 

간격의 크기에도 비례한다는 것을 알 수 있습니다.

 

또한 원함수가 선형함수인 경우에는 2차 도함수가 0이므로

 

오차가 0이 되어 정해(exact solution)와 같아집니다.

 

 

여기까지 오일러(Euler)법에 대해 알아보았습니다.