이번 포스팅에서는 평균 필터에 대해 알아보겠습니다.
평균 필터
평균 필터는 평균을 구하는 공식을 활용한 필터입니다.
이미 잘 아시겠지만, 평균을 구하는 방법은 아래와 같습니다
$$ \bar{x}_{k} = \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}{k} \tag{1}$$
하지만 이대로는 필터에 써먹지 못합니다.
평균의 정의대로 계산하면 데이터가 1개 추가될 때 마다
모든 데이터를 다시 더해서 k+1로 나눠줘야하기 때문입니다.
따라서 우리는 재귀식의 형태로 표현할 필요가 있습니다.
재귀식은 이전 결과를 다시 사용하기 때문입니다.
평균 필터를 재귀식으로 나타내기
위에서 다뤘던 평균을 구하는 식을 재귀식의 형태로 나타내어 봅시다.
우선 재귀식의 형태로 나타내기 위해서는
좌변에 $\bar{x}_{k}$, 우변에 $\bar{x}_{k-1}$이 나타나게 해야합니다.
$$\bar{x}_{k-1} = \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{k-1}}{k-1} \tag{2}$$
여기서 식 (1)의 양 변에 k를 곱해줍시다.
$$k\bar{x}_{k} = x_{1}+x_{2}+...+x_{k}$$
여기에 다시 양 변을 k-1로 나누면 아래와 같습니다.
$$\frac{k}{k-1}\bar{x}_{k} = \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}{k-1}$$
위 식의 우변에서 $x_{k}$만 따로 빼내어 봅시다.
$$\frac{k}{k-1}\bar{x}_{k} = \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{k-1}}{k-1} + \frac{x_{k}}{k-1}$$
여기서 우변의 첫번째 항은 식 (2)와 같죠? 식 (2)로 바꿔써보면
$$\frac{k}{k-1}\bar{x}_{k} = \bar{x}_{k-1} + \frac{x_{k}}{k-1}$$
마지막으로 양 변을 $\frac{k}{k-1}$로 나누어주면
평균 필터의 재귀식의 형태가 나타나게 됩니다.
$$\bar{x}_{k} = \frac{k-1}{k}\bar{x}_{k-1} + \frac{1}{k}x_{k}$$
우리는 위 식을 이용해 평균을 계산할 수 있습니다.
식 (1)에서와 같이 새로운 값이 추가될 때 마다 평균을 새로 계산하는 것이 아닌
그저 직전의 평균값과 새로운 데이터만 있으면 간단하게 가능하죠.
이전 데이터를 불러올 필요가 없는 겁니다.
평균 필터의 재귀식
좀 더 간결하게 표현해보죠.
$\bar{x}_{k-1}$의 계수인 평균 필터의 파라미터를 아래와 같이 정의해봅시다.
$$\alpha \equiv \frac{k-1}{k}$$
그럼 $\frac{1}{k} = 1-\alpha$가 됩니다.
따라서 평균 필터는 아래 식 (3) 같이 나타낼 수 있습니다.
$$\bar{x}_{k}=\alpha\bar{x}_{k-1}+(1-\alpha)x_{k} \tag{3}$$