공부해서 남주자

[머신러닝] Gradient Descent (with Python)

슬기나무 — Wed, 24 Jul 2024 22:29:40 +0900

이번 포스팅에서는 최적화 문제에서 널리 쓰이는 방법 중 하나인 Gradient Descent에 대해 알아봅시다.

Gradient Descent?

Gradient Descent는 머신러닝과 최적화 문제에서 널리 사용되는 방법 중 하나로, 주어진 함수의 최소값을 찾기 위해 사용됩니다.

이 방법은 이름 그대로 cost function의 기울기가 낮은 방향으로 반복적으로 이동하며 최소값을 찾아가는 방법입니다.

기본적으로 최소화하고자 하는 목적 함수(cost function) $J(\theta)$와 입력변수 $\theta$, 그리고

목적함수의 기울기인 $\triangledown J(\theta)$를 필요로 합니다.

동작 알고리즘

Gradient Descent의 동작 알고리즘은 아래와 같이 이루어집니다.

1. Initialization: 파라미터 $\theta$를 임의의 값으로 초기화합니다.

2. Iteration:

1) 현재의 $\theta$값에서의 기울기 $\triangledown J(\theta)$를 계산합니다.

2) 파라미터 $\theta$를 아래와 같이 기울기의 반대 방향으로 이동하도록 업데이트 합니다.

$$\theta = \theta - \alpha \triangledown J(\theta)$$

이 때, $\alpha$는 학습률(learning rate)라 부르는 값이며, 너무 크면 파라미터가 발산할 수 있고

너무 작으면 수렴시간이 오래걸릴 수 있어 적절한 값 선정이 필요합니다.

3. 종료: 기울기가 충분히 작아지거나, 미리 정한 Iteration 횟수를 만족한 경우 종료합니다.

Python 예제 코드

간단하게 목적함수 $J(\theta) = \theta ^2$를 최소화하기 위한 gradient descent 예제를 해보겠습니다.

먼저, 목적함수를 정의합니다.

def cost_function(theta):
    return theta**2

그리고 그 목적함수의 기울기도 정의해야겠죠?

def gradient(theta):
    return 2*theta

그다음 파라미터의 초기값과 학습률, 반복횟수를 입력받아 동작하는 알고리즘을 함수로 정의합니다.

이 함수의 return 값은 최소화된 파라미터와 목적함수의 값이 될겁니다.

def gradient_descent(initial_theta, learning_rate, iterations):
    theta = initial_theta
    theta_values = [theta]
    cost_values = [cost_function(theta)]
    
    for _ in range(iterations):
        grad = gradient(theta)
        theta = theta - learning_rate * grad
        theta_values.append(theta)
        cost_values.append(cost_function(theta))
        
    return theta_values, cost_values

임의의 값으로 파라미터를 초기화하고, 학습률 및 반복횟수를 정의한 후, 알고리즘 함수를 실행합니다.

initial_theta = 10
learning_rate = 0.1
iterations = 20

theta_values, cost_values = gradient_descent(initial_theta, learning_rate, iterations)

결과를 보니 파라미터 $\theta$가 기울기 반대방향을 따라 작아짐에 따라,

목적함수(cost function) 또한 작아지는 것을 확인할 수 있습니다.

이 경우 당연하게도, 목적함수는 $\theta ^2$였으니 반복횟수가 많아질수록 0에 수렴하게 될겁니다.

아래에 전체 코드를 나타내었습니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 목적 함수 예제 (2차함수)
def cost_function(theta):
    return theta**2

# 목적 함수의 기울기
def gradient(theta):
    return 2*theta

# Gradient Descent 알고리즘
def gradient_descent(initial_theta, learning_rate, iterations):
    theta = initial_theta
    theta_values = [theta]
    cost_values = [cost_function(theta)]
    
    for _ in range(iterations):
        grad = gradient(theta)
        theta = theta - learning_rate * grad
        theta_values.append(theta)
        cost_values.append(cost_function(theta))
        
    return theta_values, cost_values

# 파라미터 초기화
initial_theta = 10
learning_rate = 0.1
iterations = 20

# Gradient Descent 실행
theta_values, cost_values = gradient_descent(initial_theta, learning_rate, iterations)

# 시각화
plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(range(len(theta_values)), theta_values, 'b-', marker='o')
plt.title('Gradient Descent Progress')
plt.ylabel('Theta')
plt.grid(True)

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(range(len(cost_values)), cost_values, 'r-', marker='o')
plt.xlabel('Iteration')
plt.ylabel('Cost')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

여기까지 Gradient Descent 방법에 대해 알아보았습니다.

[동역학] 오일러 각(Euler Angle)을 Python으로 구현해보기

슬기나무 — Tue, 23 Jul 2024 22:46:49 +0900

이번 포스팅에서는 오일러 각(Euler Angle)을 Python으로 구현해보겠습니다.

오일러 각(Euler Angle) 기본

기본적인 내용은 아래 글에서 다룬 바 있습니다.

2020.11.19 - [공학/동역학] - [동역학] 오일러 각(Euler angle)

[동역학] 오일러 각(Euler angle)

이번 포스팅에서는 오일러 각에 대해 알아보도록 합시다. 오일러 각(Euler angle) 오일러 각은 흔히 오일러 앵글이라고들 많이 부르는데, 3차원 공간에서 강체가 놓인 자세를 표현하기 위해 나타내

study2give.tistory.com

다시 한번 간단하게 설명하자면,

3차원 공간에서 강체가 놓인 자세를 표현하기 위해 나타내는 3개의 각도를 말하며,

3차원 공간에서는 각 축방향으로 회전하는 순서에 따라

같은 각도만큼을 움직이더라도 최종 자세가 달라지기 때문에

그 순서를 정하여 오일러 313(z-x-z), 오일러 321(z-y-x) 좌표 등으로 부릅니다.

Python으로 Euler Angle 구현하기

먼저 matrix 연산을 쉽게 할 수 있도록 numpy 라이브러리를 불러옵니다.

import numpy as np

numpy 라이브러리가 없는 경우,

command 창에서 pip install numpy 명령어를 통해 쉽게 설치할 수 있습니다.

그 다음 본격적으로 Euler angle을 이용해 matrix를 구현해보겠습니다.

각 축 방향 회전에 대한 matrix를 함수로 만들겠습니다.

def rotation_matrix_x(angle):
    c = np.cos(angle)
    s = np.sin(angle)
    return np.array([[1, 0, 0],
                     [0, c, -s],
                     [0, s, c]])

def rotation_matrix_y(angle):
    c = np.cos(angle)
    s = np.sin(angle)
    return np.array([[c, 0, s],
                     [0, 1, 0],
                     [-s, 0, c]])

def rotation_matrix_z(angle):
    c = np.cos(angle)
    s = np.sin(angle)
    return np.array([[c, -s, 0],
                     [s, c, 0],
                     [0, 0, 1]])

그런 원하는 회전 순서에 따라 회전 matrix가 지정될 수 있도록

각 rotation matrix를 각 회전 축 방향에 매칭되도록 dictionary 정의하겠습니다.

rotation_matrices = {
        'X': rotation_matrix_x,
        'Y': rotation_matrix_y,
        'Z': rotation_matrix_z
    }

그 다음, 입력한 회전 순서에 따라 각 rotation matrix가 지정되어 곱해질 수 있도록

for loop를 활용하여 identity 행렬에 곱합니다.

I = np.eye(3)

for axis, angle in zip(order, angles):
    I = np.dot(rotation_matrices[axis](angle), I)

위 코드를 함수화하면 아래와 같은 함수로 구성할 수 있습니다.

def euler_to_matrix(angles, order):
    
    def rotation_matrix_x(angle):
        c = np.cos(angle)
        s = np.sin(angle)
        return np.array([[1, 0, 0],
                         [0, c, -s],
                         [0, s, c]])
    
    def rotation_matrix_y(angle):
        c = np.cos(angle)
        s = np.sin(angle)
        return np.array([[c, 0, s],
                         [0, 1, 0],
                         [-s, 0, c]])
    
    def rotation_matrix_z(angle):
        c = np.cos(angle)
        s = np.sin(angle)
        return np.array([[c, -s, 0],
                         [s, c, 0],
                         [0, 0, 1]])
    
    rotation_matrices = {
        'X': rotation_matrix_x,
        'Y': rotation_matrix_y,
        'Z': rotation_matrix_z
    }
    
    I = np.eye(3)
    
    for axis, angle in zip(order, angles):
        I = np.dot(rotation_matrices[axis](angle), I)
    
    return I

euler_to_matrix라는 함수의 input parameter는 회전각 3개와 회전 순서가 될 것이고,

zip() 함수에 의해 각 회전 순서와 회전 각도가 매칭되어

회전 matrix를 만들고, identity 행렬 I에 곱해져 최종적으로 행렬 I를 return합니다.

예시로 회전각도 45도, 30도, 60도와 회전순서 X-Y-Z축으로 하였을때의 코드는 아래와 같습니다.

import numpy as np

def euler_to_matrix(angles, order):
    
    def rotation_matrix_x(angle):
        c = np.cos(angle)
        s = np.sin(angle)
        return np.array([[1, 0, 0],
                         [0, c, -s],
                         [0, s, c]])
    
    def rotation_matrix_y(angle):
        c = np.cos(angle)
        s = np.sin(angle)
        return np.array([[c, 0, s],
                         [0, 1, 0],
                         [-s, 0, c]])
    
    def rotation_matrix_z(angle):
        c = np.cos(angle)
        s = np.sin(angle)
        return np.array([[c, -s, 0],
                         [s, c, 0],
                         [0, 0, 1]])
    
    rotation_matrices = {
        'X': rotation_matrix_x,
        'Y': rotation_matrix_y,
        'Z': rotation_matrix_z
    }
    
    I = np.eye(3)
    
    for axis, angle in zip(order, angles):
        I = np.dot(rotation_matrices[axis](angle), I)
    
    return I

angles = (np.pi / 4, np.pi / 6, np.pi / 3)  
order = 'XYZ'  
rotation_matrix = euler_to_matrix(angles, order)
print(rotation_matrix)

잘 동작하네요.

사실 Chat GPT의 힘을 빌렸습니다.

이젠 직접 코딩하는 일이 사라질지도 모르겠네요.

여기까지 Python으로 Euler Angle을 구현해보았습니다.

[공학일반] Resampling

슬기나무 — Thu, 20 Jun 2024 21:53:10 +0900

이번 포스팅에서는 Resampling의 개념과 예시에 대해 알아보겠습니다.

Resampling이란?

Resampling은 원본 dataset의 sample을 다시 생성하는 것을 말하며,

주로 시계열 데이터에서 시간 간격을 재조정하기 위해 사용됩니다.

Resampling의 유형

Resampling은 크게 두가지로 나눌 수 있는데요.

1. DownSampling

데이터의 빈도를 낮추는 방법을 말합니다.

예를 들어 초단위 데이터를 분단위로 변환한다거나,

0.01초 간격의 데이터를 0.1초 간격으로 변환하는 등의 방법이 있습니다.

2. UpSampling

이름에서 알 수 있듯이 위 방법과는 반대로 데이터의 빈도를 높이는 방법입니다.

위 두 방법에 대해 예시로 알아보겠습니다.

DownSampling

DownSampling의 예시입니다.

원본 데이터는 0에서 100초까지 0.001초 간격(1000Hz)의 사인파 형태이고,

이를 데이터프레임으로 변환하여 0.5초 간격(2Hz)으로 Downsampling하면 아래와 같습니다.

DownSampling 예시. sampling frequency 1000Hz -> 2Hz

DownSampling을 수행하면서 0.5초 사이 간격의 데이터를 평균값으로 취했더니,

원본 데이터와 비교했을 때 약간의 오차를 보이는 모습을 알 수 있습니다.

아래는 위 예시를 실행해볼 수 있는 Python 코드입니다.

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 원래 데이터 생성 (0초부터 100초까지 0.001초 간격)
time_rng = np.arange(0, 100, 0.001)
data = np.sin(time_rng)  # 예시로 sine 함수를 데이터로 사용

# 데이터프레임 생성
df = pd.DataFrame({'time': time_rng, 'data': data})

# 시간을 초 단위로 변환하여 timedelta로 설정
df['time'] = pd.to_timedelta(df['time'], unit='s')

# DataFrame을 시간 인덱스로 설정
df.set_index('time', inplace=True)

# 0.5초 간격으로 다운샘플링
downsampled_df = df.resample('500ms').mean()

# 그래프 그리기
plt.figure(figsize=(14, 7))
plt.plot(df.index.total_seconds(), df['data'], label='Original Data (0.001s)', alpha=0.5)
plt.plot(downsampled_df.index.total_seconds(), downsampled_df['data'], label='Downsampled Data (0.5s)', marker='o')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Data Value')
plt.title('Original Data vs Downsampled Data')
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

UpSamping

UpSampling의 예시입니다.

DownSampling과는 반대로 원본 데이터는 0에서 100초까지 0.5초 간격(2Hz)의 사인파 형태이고,

이를 데이터프레임으로 변환하여 0.001초 간격(1000Hz)으로 UpSampling하면 아래와 같습니다.

UpSampling 예시. sampling frequency 2Hz -> 1000Hz

UpSampling을 수행하면서 0.5초 사이 간격의 데이터를 선형보간법을 이용하여 채워넣었습니다.

DownSampling 시와는 다르게 원본 데이터를 그대로 따라가는 모습입니다.

원래 듬성듬성 있던 데이터인데 그 사이 데이터를 선형으로 이어줬기 때문에

예측 가능한 결과라고 생각되며, 실행할 수 있는 Python 코드는 아래에 있습니다.

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 원래 데이터 생성 (0초부터 100초까지 0.5초 간격)
time_rng = np.arange(0, 100, 0.5)
data = np.sin(time_rng)  # 예시로 sine 함수를 데이터로 사용

# 데이터프레임 생성
df = pd.DataFrame({'time': time_rng, 'data': data})

# 시간을 초 단위로 변환하여 timedelta로 설정
df['time'] = pd.to_timedelta(df['time'], unit='s')

# DataFrame을 시간 인덱스로 설정
df.set_index('time', inplace=True)

# 0.001초 간격의 새로운 시간 인덱스 생성
new_time_rng = pd.timedelta_range(start='0s', end='100s', freq='1ms')

# 기존 데이터프레임을 새로운 시간 인덱스에 맞춰 재인덱싱
upsampled_df = df.reindex(new_time_rng)

# 보간 (선형 보간법 사용)
upsampled_df['data'] = upsampled_df['data'].interpolate(method='linear')

# 그래프 그리기
plt.figure(figsize=(14, 7))
plt.plot(df.index.total_seconds(), df['data'], label='Original Data (0.5s)', marker='o')
plt.plot(upsampled_df.index.total_seconds(), upsampled_df['data'], label='Upsampled Data (0.001s)', alpha=0.5)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Data Value')
plt.title('Original Data vs Upsampled Data')
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

여기까지 ReSampling에 대해 알아보았습니다.

[Python] str.split() 메서드

슬기나무 — Tue, 20 Dec 2022 20:41:00 +0900

이번 포스팅에서는 str class에 있는 split()이라는 문자열 분리 메서드에 대해 알아보겠습니다.

str.split()

split() 메서드는 str class에서 사용할 수 있는 함수입니다.

호출 시 str.split() 혹은 str class로 생성된 instance.split()로 사용할 수 있습니다.

사용하게 되면 split() 메서드는 대상 문자열을 분리하여 list 형태로 반환합니다.

예를 들어

x = str.split('Hello python')
print(x)

의 실행 결과는 아래와 같습니다.

'Hello python'이라는 str을 띄어쓰기를 기준으로 분리하여 item 2개짜리 list로 반환하였습니다.

위와 같이 class로 호출하는 방법 외에 instance로도 호출할 수 있는데요.

x = 'Hello python'.split()
print(x)

이처럼 instance로 호출하였을 때도 동일한 결과가 나타나는 것을 확인할 수 있습니다.

분리자 (sep=' ')

split() 메서드에서는 sep라는 분리자를 활용하여

좀 더 다양한 방법으로 문자열을 구분할 수 있는데요.

방금처럼 Hello python을 띄어쓰기가 아닌 '-'로 연결하여 split() 메서드를 사용해봅시다.

x = 'Hello-python'.split()
print(x)

그랬더니 결과는 문자열이 분리되지 않은 채로 item 1개짜리 list가 반환되었습니다.

이러한 문자열을 분리해주기 위한 것이 sep입니다.

x = 'Hello-python'.split(sep='-')
print(x)

분리자를 활용하면 이처럼 좀 더 다양한 방법으로 문자열을 분리할 수 있습니다.

split() 메서드는 만약 sep를 별도로 지정하지 않는다면 default로 공백을 기준으로 문자열을 분리합니다.

split() 활용

다양한 방법으로 활용할 수 있는데요.

우선 키보드로부터 입력받은 값을 분리하는 방법을 소개해드리겠습니다.

python에서 키보드로부터 값을 입력받는 방법은 input()을 사용하는 것입니다.

input()은 키보드로부터 입력받은 객체를 str로 반환합니다.

같은 str class이기 때문에 split() 메서드를 사용하는 것이 가능합니다.

x = input().split()
print(x)

I'm fine thank you. 를 입력하였을 때 split() 메서드에 의해 분리된 list가 반환되었습니다.

이 때, list의 item이 4개인 것을 알 수 있는데요.

좌변 x에 대입하였을 땐 item 4개짜리 list가 되지만

좌변에 item의 갯수만큼의 변수를 할당하여 받게되면 각 변수에 str을 각각 받을 수 있습니다.

a,b,c,d = input().split()
print(a)
print(b)
print(c)
print(d)

위 처럼 a,b,c,d에 순서대로 list의 원소들이 들어가 있는 것을 확인할 수 있습니다.

이 때 주의해야 할 점은 list item의 갯수와 좌변의 변수 갯수가 동일해야한다는 점입니다.

여기까지 문자열을 분리해주는 split() 메서드에 대해 알아보았습니다.

[Python] print() 함수

슬기나무 — Tue, 1 Nov 2022 22:08:14 +0900

이번 포스팅에서는 화면에 문자열 혹은 숫자를 출력하는 print 함수에 대해 알아보겠습니다.

print()에 대하여

먼저 print 함수가 어떻게 정의되는지 python docs에 나와있는 내용을 살펴봅시다.

print 함수에 대한 설명. 출처: python.org

주어진 객체(object)를 출력하며, sep, end, file, flush 등이 있다면

무조건 키워드로 입력하여야한다고 설명되어 있네요.

sep는 구분자를 말하며, 입력하지 않을 시 기본값은 ' '으로 스페이스바와 같습니다.

end는 주어진 객체를 print한 후 입력되는 문자이며, 기본값은 \n으로 enter와 같습니다.

print() 를 활용하여 문자열 & 숫자 출력하기

파이썬에서 화면에 문자열 혹은 숫자를 출력하기 위해서는

print() 함수를 사용하면 됩니다.

예를 들어,

print("안녕")

이라고 입력하였을 때의 출력 결과는

이렇게 출력됩니다.

위의 입력 예시처럼 큰 따옴표(") 안에 문장을 입력하게 되면 그 안의 문장은

문자열로 인식됩니다.

큰 따옴표 대신 작은 따옴표(')를 사용하여도 무방합니다.

sep와 end도 함께 사용해봅시다.

print('hello','python')

sep는 기본값이 띄어쓰기라고 했죠?

이를 살짝만 바꿔봅시다.

print('hello','python',sep='-')

구분자를 '-'로 바꾸어주었더니, 위와 같이 바뀌어 들어갔습니다.

이번엔 end에 대한 사용 예를 알아보죠.

print('hello','python')
print('hi')

기본적으로 print 함수의 끝은 \n 이기 때문에 print함수 호출이 끝나면 자동으로 행이 바뀝니다.

이를 만약 띄어쓰기로 바꾸면 어떻게 될까요?

print('hello','python',end=' ')
print('hi')

위와 같이 행 바꿈 대신 띄어쓰기 후 다음 print함수가 호출되어 hi가 출력되었습니다.

그렇다면 숫자를 출력할 땐 어떻게 하면 될까요?

문자열을 출력하는 경우와는 다르게 따옴표를 입력하지 않습니다.

예를 들어

print(100)

을 입력하였다면 그 출력 결과는

위의 결과처럼 숫자가 그대로 출력되게 됩니다.

sep나 end는 문자열의 경우와 똑같은 방법으로 활용할 수 있습니다.

문자열 or 숫자를 함께 출력하기

위의 방법을 응용해서 문자열이나 숫자를 함께 출력할 수도 있는데요.

"11 월 1 일"이라는 문장을 출력하고 싶은 경우

print(11+" 월 "+1+" 일")

이라고 입력해 봅시다.

위 처럼 string과 int형 데이터는 더할 수 없다는 에러 메시지가 출력됩니다.

이 경우 때 쉼표(,)로 분리해서 넣으면 에러 메시지없이 출력 가능합니다.

print(11,"월",1,"일")

혹은 그냥 정수형 데이터인 11과 1을 문자열로 바꿔주면 되겠죠.

print("11 월 1 일")
print("11 "+"월 "+"1 "+"일")

여기까지 print() 함수를 활용하여 문자열과 숫자를 출력하는 방법에 대해 알아보았습니다.

[머신러닝] 얀센의 부등식(Jansen's inequality)

슬기나무 — Wed, 25 May 2022 22:55:20 +0900

이번 포스팅에서는 얀센의 부등식에 대해 알아보겠습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

얀센의 부등식(Jansen's inequality)

얀센의 부등식은 기댓값의 convex 함수와 convex 함수의 기댓값 사이에 성립하는 부등식입니다.

얀센의 부등식은 아래와 같이 나타냅니다.

$$f(wx_1+(1-w)x_2) \leq wf(x_1)+(1-w)f(x_2)$$

앞서 언급했던 함수 $f$가 컨벡스(convex)할 조건과 같습니다.

이를 좀 더 일반화한다면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$f(w_1x_1+...+w_kx_k) \leq w_1f(x_1)+...+w_kf(x_k)$$

여기서 $x_1, ... x_k$는 함수 $f$의 정의역이며, $w_1, ... w_k \geq 0$이고 $w_1+...+w_k=1$ 입니다.

이 때, 위 부등식을 기댓값($E$)를 사용해 나타내면 아래와 같습니다.

$$f(E(X)) \leq E(f(X))$$

이를 얀센의 부등식이라고 합니다.

만약 두 점 $x_1, x_2$에 대하여 고려한다면 어떻게 쓸 수 있을까요?

기댓값과 함수값의 평균을 취한 후 나타내면 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

즉, 아래로 볼록한 convex 함수라면 함수값을 먼저 구하고 평균을 한 것이 평균의 함수값보다 항상 큽니다.

만약 위로 볼록하다면 부등식의 방향은 반대가 됩니다.

여기까지 얀센의 부등식에 대해 알아보았습니다.

[머신러닝] 컨벡스 함수(convex function)

슬기나무 — Tue, 24 May 2022 23:32:40 +0900

이번 포스팅에서는 컨벡스 함수(convex function)에 대해 알아보겠습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

컨벡스 함수란?

컨벡스 함수란 만약 함수 $f$의 정의역이 컨벡스 셋(convex set)이고,

모든 데이터 포인트 $x_1, x_2, 0\le w \le 1$에 대하여

$$f(wx_1 + (1-w)x_2) \le wf(x_1)+(1-w)f(x_2) \tag{1}$$

를 만족하는 함수 $f$를 컨벡스 함수라고 합니다.

해석하면 두 점 $(x_1,f(x_1))$, $(x_2,f(x_2))$ 사이의 선분이

함수 $f$의 그래프보다 위에 있어야 한다는 의미입니다.

위 부등식을 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

convex 함수

만약 식 (1)에서 등호가 없다면 strictly convex 하다고 합니다.

그리고 convex에 반대되는 개념으로 concave라는 개념이 있는데요.

만약 함수 -$f$가 convex하다면 $f$는 concave하다고 합니다.

컨벡스 함수 예시

컨벡스 함수는 어떤게 있을까요?

1) $f(x) = e^{ax}$

위 함수는 모든 실수에 대해 $a$값과 상관없이 컨벡스합니다.

2) $f(x) = |x|$

이 역시 좌표평면에서 v자 형태로 그려지며, 어느 두 점을 찍어서 선분을 그어도 함수보다 위에 존재합니다.

3) $f(x) = x^a$

$a \geq 1$ 또는 $a \leq 0$이고 $x \geq 0$ 일 때 컨벡스 합니다.

이 외에도 몇가지 있지만 이만 줄이겠습니다.

여기까지 컨벡스 함수에 대해 알아보았습니다.

[머신러닝] 손실함수(loss function) (2) - 엔트로피(Entropy)

슬기나무 — Thu, 14 Apr 2022 21:44:16 +0900

이번 포스팅에서는 entropy에 대해 알아보겠습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

엔트로피(Entropy)

entropy는 정보이론에서 불확실성의 척도로 사용합니다.

(저는 사실 entropy는 열역학할 때만 쓰는 개념인 줄 알았습니다.)

확률변수 $x$의 entropy는 아래와 같이 정의합니다.

Entropy

$$H(x) = -\sum_{i=1}^n P(x_i)\log P(x_i)$$

entropy가 높다는 것은 정보가 많고 확률이 낮다는 것을 의미합니다.

entropy는 하나의 분포를 대상으로 하는 반면,

cross entropy는 두 분포를 대상으로 합니다.

Cross Entropy

$$H_{p,q}(x) = -\sum_{i=1}^n P(x_i)\log Q(x_i)$$

cross entropy는 실제 분포인 $q(x)$를 모르는 상태에서

예측 모델링을 통해 구한 분포 $p(x)$를 통해

두 확률 분포의 차이를 구하기 위해 사용됩니다.

말만 들어서는 잘 이해가 안될 수 있으니 간단한 예제를 통해 알아봅시다.

엔트로피 예제 (동전 & 주사위 던지기)

Entropy

동전과 주사위를 던지는 상황을 가정해봅시다.

동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 앞/뒤 두가지이기 때문에

각각의 확률이 1/2인 이산확률분포를 가집니다.

주사위를 던지는 경우 마찬가지로 각각의 확률이 1/6인 이산확률분포를 가집니다.

먼저, 각 상황에 대한 entropy에 대해 알아보겠습니다.

동전을 던지는 상황에 대하여 entropy는

$$H_{coin}(x) = -\left(\frac{1}{2}\log\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log\frac{1}{2}\right)=0.3010$$

주사위를 던지는 상황에 대하여 entropy는

$$H_{dice}(x) = -\left(\frac{1}{6}\log\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\log\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\log\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\log\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\log\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\log\frac{1}{6}\right)=0.7782$$

동전의 entropy는 약 0.3010, 주사위의 entropy는 약 0.7782로

주사위의 불확실성이 더 크다는 것을 알 수 있습니다.

직관적으로도 앞/뒤가 나오는 동전과 1~6까지 숫자가 나오는 주사위 중

어느 것이 entropy가 높을 지 짐작할 수 있습니다.

Cross entropy

주머니에서 10개의 색깔 공을 꺼내는 상황을 생각해봅시다.

주머니에는 빨간 공이 4개, 파란공이 3개, 초록공이 3개 들어있습니다.

그렇다면 이 데이터의 실제 분포는 각각의 확률이 4/10, 3/10, 3/10인

이산확률분포입니다.

한편, 모형 학습 결과 예측된 분포가 2/10, 4/10, 4/10이라면 어떨까요?

먼저 위에서 계산한 entropy 먼저 알아보면

$$H(x) = -\left(0.4\log0.4+0.3\log0.3+0.3\log0.3\right)=0.4729$$

cross entropy를 계산해보면

$$H_{p,q}(x) = -\left(0.4\log0.2+0.3\log0.4+0.3\log0.4\right)=0.5184$$

cross entropy는 실제 entropy보다 항상 큰 값을 가지기 때문에

최소화하는 쪽으로 하는 것이 실제 분포를 잘 예측할 수 있는 방향입니다.

Kullback-Leibler Divergence

그리고 위 두 entropy를 응용한 개념인

Kullback-Leibler Divergence에 대해 소개하겠습니다.

줄여서 KL Divergence라 주로 부릅니다.

식으로 나타내면 아래와 같습니다.

$$D_{KL}(P\parallel Q)=-\sum_{i=1}^n P(x_i)\log Q(x_i)+\sum_{i=1}^n P(x_i)\log P(x_i)$$

그런데 가만보니 식이 (cross entropy) - (entropy)의 꼴입니다.

cross entropy는 항상 entropy보다 큰 값을 가진다고 했죠?

즉, KL Divergence의 값을 0에 가깝도록 하는 것이 모델을 잘 예측하는 방향입니다.

특히 cross entropy와 KL Divergence는

머신러닝에서 자주 사용되는 손실함수라고 하네요!

여기까지 손실 함수 중 하나인 엔트로피에 대하여 알아보았습니다.

[머신러닝] 손실함수(loss function) (1) - L1, L2 손실함수

슬기나무 — Wed, 13 Apr 2022 22:56:47 +0900

이번 포스팅에서는 손실함수에 대해 알아보겠습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

손실함수(loss function)

손실함수는 머신러닝을 통해 생성한 모형이 실제값과 얼마나 차이가 나는지

손실 정도를 수치로 나타낸 함수입니다.

손실함수에는 $L1$ 손실함수와 $L2$ 손실함수가 존재합니다.

그리고 손실함수와 비슷하게 비용함수라는 개념도 존재합니다만

엄밀하게 말하면 서로 다르지만 실제로는 구분없이 사용하기도 한답니다.

$L1$ 손실함수

$L1$ 손실은 실제값과 예측값의 차이를 말하며

수식으로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

$$\sum_{i=1}^n \left\vert y_{i,true} - y_{i,predict} \right\vert $$

$L1$ 손실은 실제값과 예측값의 차이를 줄이는 것이 학습 목적입니다.

그리고 이와 관련된 비용 함수로는 MAE(Mean Absolute Error)가 있습니다.

$$MAE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left\vert y_i - \widehat{y}_i\right\vert$$

즉, $L1$ Loss의 평균을 나타내는 함수이고, $y_i$는 $i$번째 실제값,

$\widehat{y}_i$는 $i$번째 예측값을 말합니다.

$L2$ 손실함수

$L2$ 손실은 실제값과 예측값의 차이의 제곱을 말합니다.

수식으로는 아래와 같이 표현됩니다.

$$\sum_{i=1}^n \left( y_{i,true}-y_{i,predict}\right)^2$$

마찬가지로 이 손실함수를 하용하면

실제값과 예측값의 제곱의 차를 줄이는데에 학습 목적이 있겠죠.

$L2$ 손실과 관계된 비용 함수에는 MSE(Mean Squared Error)와

RMES(Root Mean Squared Error)가 있습니다.

$$MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(y_i-\widehat{y}_i\right)^2$$

$$RMSE = \sqrt{MSE}$$

$L2$ 손실과 MSE는 공통적으로 실제값과 예측값의 차이에 제곱을 취하기 때문에

이상치(outlier)에 민감합니다.

만약 오차가 크다면, 거기에 제곱을 하기 때문에 더 부각되기 때문이겠죠?

모형의 이상치에 중점을 두고싶다면 MSE를 사용하면 되겠습니다.

여기까지 손실함수에 대해 알아보았습니다.

[머신러닝] 그리드 서치(grid search)

슬기나무 — Tue, 12 Apr 2022 21:48:48 +0900

이번 포스팅에서는 그리드 서치(grid search)에 대해 알아보겠습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

그리드 서치(grid search)

그리드 서치는 관심있는 매개변수들을 순차적으로 입력한 후에

가장 높은 성능을 보이는 하이퍼파라미터를 탐색하는 방법입니다.

쉽게 말해 가능한 모든 경우의 수를 따져서 맘에 드는 하이퍼파라미터를 고르는거죠.

예를 들어 k-최근접 이웃 알고리즘에 사용할 수 있는 k 값에는

여러 후보가 존재하고, 어떤 하이퍼파라미터 k가 높은 성능을 보일지는

직접 해보기 전엔 알 수가 없습니다.

모두 해보고 모형의 성능을 비교한 후 최적의 k를 선정해야하죠.

k-최근접 이웃 알고리즘 (Python)

파이썬 예제를 통해 k-최근접 이웃 알고리즘을 적용해봅시다.

from sklearn import datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn.metrics import confusion_matrix
from sklearn.metrics import classification_report

# 꽃 데이터 불러오기
raw_iris = datasets.load_iris()

X = raw_iris.data
y = raw_iris.target

# 데이터 분할
X_tn, X_te, y_tn, y_te = train_test_split(X,y,random_state=0)

# 표준화 스케일
std_scale = StandardScaler()
std_scale.fit(X_tn)
X_tn_std = std_scale.transform(X_tn)
X_te_std = std_scale.transform(X_te)

best_accuracy = 0

for k in [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]:
    clf_knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors=k)
    clf_knn.fit(X_tn_std,y_tn)
    knn_pred = clf_knn.predict(X_te_std)
    accuracy = accuracy_score(y_te, knn_pred)
    if accuracy > best_accuracy:
        best_accuracy = accuracy
        final_k = {"k":k}

print(final_k)
print(accuracy)

위 코드를 사용하여 k-최근접 이웃 알고리즘을 통해

최적의 k를 선정한 결과 3이 나왔고,

모형의 정확도는 약 97%수준임을 확인할 수 있었습니다.

여기까지 그리드 서치에 대해 알아보았고,

그리드 서치의 방법 중 하나인 k-최근접 이웃 알고리즘의 예제를 학습해보았습니다.

[머신러닝] 파이프라인(Pipeline)

슬기나무 — Mon, 11 Apr 2022 23:11:20 +0900

이번 포스팅에서는 파이프라인(Pipeline)에 대해 알아보겠습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

파이프라인(Pipeline)

일반적으로 파이프라인은 생산라인에서 동시에 여러 공정 프로세스를

효율적으로 가능하게 하도록 하는 것을 말합니다.

머신러닝에서도 비슷하게 파이프라인은

모델을 가속, 재사용, 관리 및 배포하는 프로세스를 구현하고 표준화합니다.

출처: https://www.hanbit.co.kr/channel/category/category_view.html?cms_code=CMS8716308407&cate_cd=

파이프라인을 사용하면 데이터 전처리와 모델 학습, 예측까지 한번에 가능하여

코드도 간결해지는 장점이 있습니다.

파이프라인 적용 예제 (Python)

파이프라인 적용 전/후의 코드가 어떻게 바뀌는지

예제를 통해 알아보겠습니다.

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error

data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep="\s+", skiprows=22, header=None)
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]

# 데이터
X = data
y = target

# 데이터셋을 트레이닝 데이터, 테스트 데이터로 분할
X_tn, X_te, y_tn, y_te = train_test_split(X, y, random_state=7)

# 표준화 스케일링
std_scale = StandardScaler()
X_tn_std = std_scale.fit_transform(X_tn)
X_te_std = std_scale.transform(X_te)

# 학습
clf_linear = LinearRegression()
clf_linear.fit(X_tn_std, y_tn)

# 예측
pred_linear = clf_linear.predict(X_te_std)

# 평가
mean_squared_error(y_te, pred_linear)

print(mean_squared_error(y_te, pred_linear))

참고 교재에 있는 코드를 사용하였습니다.

보스톤의 집값에 관한 데이터를 학습한 모델로써,

예측의 mean squared error는 약 29.5%로 나오네요.

이 코드를 파이프라인을 사용하여 나타내면 어떨까요?

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error

data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep="\s+", skiprows=22, header=None)
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]

# 데이터
X = data
y = target

# 데이터셋을 트레이닝 데이터, 테스트 데이터로 분할
X_tn, X_te, y_tn, y_te = train_test_split(X, y, random_state=7)

# 파이프라인
linear_pipeline =Pipeline([('scaler',StandardScaler()),('linear_regression',LinearRegression())])

# 학습
linear_pipeline.fit(X_tn, y_tn)

# 예측
pred_linear = linear_pipeline.predict(X_te)

# 평가
mean_squared_error(y_te, pred_linear)

print(mean_squared_error(y_te, pred_linear))

data set을 training data, test data로 분할하기까지의 코드는 같지만

그 이후 데이터 전처리, 모델을 학습하고 예측하는 과정은 파이프라인으로 해결합니다.

코드가 뭔가 통일감도 생긴 것 같고, 간결해져서 좋네요.

결과는 물론 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

데이터 사이언스 전공자 관점이 아닌 일반인 관점이라

아직은 뭐가 편한지 잘 모르겠지만...

코드가 간결해지니 익혀둬서 나쁠게 없는건 확실한 것 같습니다.

이상 파이프라인에 대한 포스팅을 마칩니다.

[머신러닝] 교차 검증(cross validation)

슬기나무 — Tue, 5 Apr 2022 21:28:48 +0900

이번 포스팅에서는 교차 검증에 대해 알아보겠습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

교차 검증(cross validation)이란?

오버피팅과 언더피팅을 방지하고 적합한 모형을 추정하기 위해

모형의 성능을 검증하는 것을 교차검증(cross validation)이라고 합니다.

Data set

위 그림과 같이 최초에 Data가 주어져 이 데이터를 이용해 모형을 만든다고 해 봅시다.

그런데 전체 data set을 사용하여 모형을 생성하면

실제 data에 적용해보고 성능을 평가할 새로운 data가 없기 때문에 문제가 됩니다.

이 문제를 해결하기 위해 전체 data를 training data와 test data로 분할합니다.

Data set = Training data + Test data

이 경우 training data는 모형 생성을 위한 학습에 사용되고,

test data는 모형의 성능을 평가할 때 사용될 것입니다.

하지만 이 경우에도 문제가 없는 것은 아닙니다.

머신러닝 알고리즘을 적용할 때 다양한 hyperparameter에 대해

여러가지 모형의 후보군을 생성/평가하여 최종 모형을 선택하게 되는데

hyperparameter를 결정하는 과정에서 training data와 test data만 존재한다면

test data에 의해 최종 모형의 hyperparameter가 결정되기 때문입니다.

(전체 data set에서 test data를 뺀 것이 training data이므로)

따라서 이 문제를 해결하기 위해 training data의 일부를

밸리데이션(validation) 데이터로 사용합니다.

Data set = Training data + Validation data + Test data

이렇게 하여 training data는 parameter를 구하는데 사용하고

validation data는 hyperparameter를 구하는데에 사용합니다.

주어진 data set에 대하여 training data, validation data, test data로 나누는 방법은

다양한 방법이 존재합니다.

교차 검증 예시

아래 그림과 같이 전체 데이터를 $k$개로 분할하여 data 조합을 바꾸는 방법을

K-fold cross-validation이라고 하며,

아래의 경우 data 조합이 5종류 이므로 5-fold cross-validation이라고 합니다.

5-fold cross-validation

[머신러닝] 오버피팅과 언더피팅

슬기나무 — Mon, 4 Apr 2022 20:38:58 +0900

이번 포스팅에서는 오버피팅(Overfitting)과 언더피팅(underfitting)에 대해 알아보겠습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

오버피팅(Overfitting)과 언더피팅(underfitting)

머신러닝 모형이 실제 모형에 얼마나 가깝게 모델링되었는지와 관계된 용어인

오버피팅과 언더피팅은 각각 특정 data set에 과도하게/과소하게 적합된 것을 말합니다.

실제 데이터 모형이 $n$ 차원식이라고 했을 때 수식으로 나타내면 아래와 같습니다.

$$ y_i = w_nx^n+w_{n-1}x^{n-1}+...+w_1x+w_0$$

오버피팅은 특정 데이터셋에 과도하게 적합된 것을 말하며, 식으로 나타내면 아래와 같습니다.

$$y_i = w_{n+m}x^{n+m}+...+w_1x+w_0$$

이 때, $m>0$ 입니다.

이 경우 정확도가 매우 높아보일 수 있으나 알려지지 않은 데이터에 대한 예측력은 낮습니다.

데이터 오버피팅 예시

언더피팅은 특정 데이터셋에 과소하게 적합된 것을 말하며, 수식으로 나타내면 아래와 같습니다.

$$ y_i = w_{n-m}x^{n-m}+...+w_1x+w_0$$

이 경우 역시 데이터에 대한 예측력은 낮아지게 됩니다.

데이터 언더피팅 예시

따라서 우리는 주어진 데이터의 종류와 상관없이 일반화할 수 있는 모형을 생성하기 위해

적절하게 적합된 모형을 모델링하여야 합니다.

적절한 모형 예시

[머신러닝] 초평면(hyperplane)과 반공간(halfspace)

슬기나무 — Sun, 20 Mar 2022 22:16:10 +0900

이번 포스팅에서는 초평면(hyperplane)과 반공간(halfspace)에 대해 알아보겠습니다.

참고문헌: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음

초평면(hyperplane)

초평면은 아래와 같이 $w^Tx=b$를 만족하는 데이터 포인트 $x$의 집합을 말합니다.

$$ \left\{x\mid w^Tx=b\right\} $$

이 때 $w$는 $n$ 차원 가중치 벡터 , $b$는 스칼라 값입니다.

여기서 내적값이 $b$가 아니라 0인 형태로 바꿉니다.

$$ \left\{x\mid w^T\left(x-x_0\right)=0\right\} $$

이 때 $x_0$는 초평면 내 어떤 점이든 괜찮습니다.

초평면의 개념

두 벡터의 내적값이 0이면 서로 수직이므로,

이를 그림으로 나타내면 위와 같습니다.

이 공간은 초평면(hyperplane)에 의해 두개의 반공간(halfspace)으로 나뉩니다.

반공간은 아래와 같은 형태로 나타냅니다.

$$\left\{w^Tx \leq b\right\}$$

반공간(halfspace)

위 그림은 반공간을 나타낸 그림입니다.

$w^Tx=b$라는 경계가 존재하기 때문에

초평면에 의해 나뉜 반공간은 컨벡스 셋입니다.

개념만 익히니 살짝 와닿지가 않는 느낌입니다.

나중에 어떻게 써먹게 될지 궁금합니다.

여기까지 초평면과 반공간에 대해 알아보았습니다.

[머신러닝] 아핀 셋(affine set)과 컨벡스 셋(convex set)

슬기나무 — Wed, 16 Mar 2022 22:22:13 +0900

이번 포스팅에서는 아핀 셋(affine set)과 컨벡스 셋(convex set)에 대하여 알아보겠습니다.

저도 잘 모르는 분야라 이제부터 교재를 통해 공부해보려고 합니다..

본 포스팅은 아래의 출처를 참고하였습니다.

(출처: 선형대수와 통계학으로 배우는 머신러닝 with 파이썬, 장철원 지음)

직선과 선분

아핀 셋과 컨벡스 셋을 알아보기에 앞서 직선과 선분에 대해 먼저 알아보겠습니다.

직선(line)과 선분(line segment)는 비슷한 것 같지만 다릅니다.

직선은 시작과 끝 지점이 존재하지 않는 반면, 선분은 시작과 끝 지점이 존재합니다.

공간 $R^n$에서 두 점 $x_1, x_2$를 잇는 선을 아래와 같이 표현해보겠습니다.

$$y=wx_1+(1-w)x_2$$

위 식에서 만약 $w=0$이면 $y=x_2$가 되고, $w=1$이면 $y=x_1$이 됩니다.

만약 $0 \leq w \leq 1$이면 $y$는 $x_1, x_2$를 잇는 선분이 되고,

$w\in R$이면 직선이 됩니다.

아핀 셋(affine set)

2차원 공간에서 집합 $C$ 내부의 두 점을 잇는 직선이 있다고 가정할 때

$wx_1+(1-w)x_2 \in C$이면 집합 $C$는 아핀 셋입니다.

아핀 셋은 시작과 끝 범위 제한이 없는 직선을 포함하므로,

아핀 셋 또한 범위 제한이 없습니다.

아핀 셋 영역

만약 2차원이 아니라 $n$차원이라면 $w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n$으로 쓸 수 있고,

이를 포인트 $x_1, x_2, ... x_n$에 대한 아핀 조합(affine combination)이라고 합니다.

이 때, $w_1 + w_2 + ... + w_n = 1$을 만족합니다.

아핀 조합은 곧 집합 $C$에 속하는 점들의 선형 결합(linear combination)과 같습니다.

아핀 함수와 선형 함수의 차이

$n$차원에서 $m$차원으로 차원을 변환하는 함수 $f: R^n → R^m$이 존재한다고 해봅시다.

위 함수 $f$의 의미는 $n$차원 공간 $R^n$에 속하는 벡터를

$m$차원 공간 $R^m$에 속하는 벡터로 변환한다는 의미입니다.

함수 $f$가 선형 변환이라면 $n \times m$ 행렬로 나타낼 수 있고, 이를 $W$라 하면

$$f(x) = Wx$$

데이터 포인트 $x$를 선형 변환하는 선형 함수는 위와 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

여기서 아핀 함수가 선형 함수와 다른 점 하나가 있는데요.

아핀 함수는 여기에 상수항 $b$가 추가된다는 것입니다.

$$f(x) = Wx+b$$

선형 부분 공간 vs 아핀 부분 공간

선형 변환을 통해 만들어진 선형 부분 공간은 원점을 지나지만,

아핀 변환을 통해 만들어진 아핀 부분 공간은 상수 $b$에 의해

$y$ 절편 $b$를 지나는 것을 확인할 수 있습니다.

컨벡스 셋(convex set)

만약 집합 $C$ 내부의 두 점 사이의 선분이 집합 $C$에 속한다면

집합 $C$는 컨벡스(convex)합니다.

즉, 두 점 $x_1, x_2 \in C$에 대해 $0\leq w\leq 1$을 만족하는 $w$에 대하여

아래 조건을 만족하면 집합 $C$를 컨벡스 셋이라고 합니다.

$$wx_1+(1-w)x_2 \in C$$

눈치 채셨겠지만 컨벡스 셋은 두 점을 잇는 직선을 포함하는 아핀 셋과는 달리

두 점 사이의 선분을 포함합니다.

컨벡스 셋 개념

위 그림에서 왼쪽은 컨벡스 셋이지만 오른쪽은 컨벡스 셋이 아닙니다.

오른쪽 그림은 두 점 사이의 선분 내 점들이 모두 도형에 속하지 않기 때문입니다.

이 때, 아핀 셋은 두 지점 사이의 모든 선을 포함하므로

자연스럽게 두 점 사이의 모든 선분 또한 포함하기 때문에

아핀 셋이면 컨벡스 셋이라고 말할 수 있습니다.

그리고 데이터 포인트 $w_1x_1+w_2x_2+...+x_nx_n$이 존재할 때,

이를 $x_1,...x_n$의 컨벡스 조합(convex combination)이라고 합니다.

이 때, $w_1+...+w_n=1$이며, $w_1,...,w_n >0$을 만족해야 합니다.

그리고 컨벡스 헐(convex hull)이라는 개념이 있는데요.

컨벡스 셋이 집합 내부의 두 점 사이 선분을 통해 컨벡스 여부를 알아보았다면

컨벡스 헐은 주어진 점들을 포함하는 컨벡스 셋을 의미합니다.

컨벡스 헐의 개념

여기까지 아핀 셋(affine set)과 컨벡스 셋(convex set)에 대하여 알아보았습니다.

[동역학] 평면에서의 운동방정식 (with MATLAB)

슬기나무 — Tue, 25 Jan 2022 22:20:41 +0900

이번 포스팅에서는 평면에서의 운동방정식에 대하여 알아보고,

구속이 포함된 운동방정식을 이용하여 단진자 운동 해석을 해보겠습니다.

자코비안 행렬(jacobian matrix)

앞선 포스팅에서 우리는 기구의 구속식에 대해 알아보았습니다.

구속식은 기본적으로 body의 좌표로 이루어져있기 때문에,

초기값이 주어지면 해당 구속식을 풀어 기구의 상태를 확정할 수 있습니다.

운동방정식을 구성하기 위해서는 이 구속식을 미분하여 속도, 가속도를 구할 필요가 있는데요.

이 때 구속식을 각 좌표로 편미분하여 변화량을 구한 행렬을 자코비안 행렬(jacobian matrix)이라 합니다.

구속식이 존재하는 기구의 운동방정식을 구성하기 위해서는 이 자코비안 행렬이 필수적입니다.

예를 들어 Revolute joint의 자코비안을 구한다면

$$\Phi = \begin{bmatrix} x_i+\xi_i\cos\theta_i -\eta_i\sin\theta_i-x_j-\xi_j\cos\theta_j-\eta_j\sin\theta_j \\ y_i+\xi_i\sin\theta_i+\eta\cos\theta_i-y_j-\xi_j\sin\theta_j-\eta_j\cos\theta_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

위 구속식을 각 좌표 $q = \left[x_i, y_i, \theta_i, x_j, y_j, \theta_j \right]^T$로 편미분하여 자코비안을 구합니다.

편의 상 $\Phi_q$라 표기하기로 하며, 자세히 쓰면 아래와 같습니다.

$$\Phi_q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\xi_i\sin\theta_i-\eta_i\cos\theta_i & -1 & 0 & \xi_j\sin\theta_j+\eta_j\cos\theta_j \\ 0 & 1 & \xi_i\cos\theta_i-\eta_i\sin\theta_i & 0 & -1 & -\xi_j\cos\theta_j+\eta_j\sin\theta_j \end{bmatrix} $$

위치, 속도, 가속도 해석

위에서 말한 것과 같이

초기값이 주어지면 구속식을 풀어 기구의 상태를 확정할 수 있습니다.

이 때 구속식을 미분하여 각각 속도, 가속도에 대한 풀이도 가능한데요.

일반적으로 구속식은 좌표 $q$와 시간 $t$의 함수입니다.

따라서 구속식을 시간에 대하여 미분했을 때 나오는 결과는 아래와 같습니다.

Position analysis

$$\Phi\left(q,t\right) = 0$$

위치에 대한 해석은 초기값이 주어졌을 때

newton-raphson법과 같은 비선형수치해석법으로 풀이 가능합니다.

Velocity analysis

$$\dot{\Phi}=\Phi_q \dot{q} + \Phi_t = 0$$

$\Phi_q$는 위에서 설명한 자코비안 행렬이고, $\dot{q}$는 좌표의 시간미분입니다.

기구의 운동을 특정 속도 등으로 움직이도록 하는 driving constraint가 없다면

$\Phi_t$는 0입니다.

마찬가지로 비선형수치해석법으로 풀이 가능합니다.

Acceleration analysis

$$\ddot{\Phi} = \left(\Phi_q\dot{q}+\Phi_t\right)_\dot{q} \ddot{q}+\left(\Phi_q\dot{q}+\Phi_t\right)_q\dot{q}+\left(\Phi_q\dot{q}+\Phi_t\right)_t=0$$

이 때 가속도항을 남기고 모든 항을 우항으로 넘겨 정리하면

아래와 같은 결과가 나오며, 이를 간단히 $\gamma$로 나타내기로 합시다.

$$\Phi_q\ddot{q}=-\left[\left(\Phi_q\dot{q}\right)_q\dot{q}+2\Phi_{qt}\dot{q}+\Phi_{tt}\right]=\gamma$$

이 역시 마찬가지로 초기값이 주어지면 비선형 수치해석법으로 풀이 가능합니다.

평면(2D)에서의 운동방정식(Equations of motion)

평면에서의 운동방정식에 대해 알아봅시다.

평면(2D)에서 1개의 body는 3개의 자유도를 가지며,

각 좌표 축에 대한 평형방정식은 아래와 같습니다.

$$\Sigma F_x = ma_x$$

$$\Sigma F_y = ma_y$$

$$\Sigma M = I\alpha$$

따라서 구속이 없는 1-body system의 운동방정식은 아래와 같습니다.

$$\begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ M \end{bmatrix}$$

동일한 방법으로 구속이 없는 2-body system의 운동방정식은 아래와 같겠죠.

$$\begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & I_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{x_1} \\ a_{y_1} \\ \alpha_1 \\a_{x_2} \\a_{y_2} \\ \alpha_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{x_1} \\ F_{y_1} \\ M_1 \\ F_{x_2} \\ F_{y_2} \\ M_2 \end{bmatrix}$$

그렇다면 구속이 존재하는 시스템의 운동방정식은 어떻게 구성할까요?

위에서 구해놓은 자코비안 행렬과 구속식의 미분 등으로 표현 가능합니다.

$$\begin{bmatrix} M & \Phi_q^T \\ \Phi_q & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{q} \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q \\ \gamma \end{bmatrix} $$

여기서 $lambda$는 lagrange multiplier라고 하는데, 본문에서 설명은 생략하겠습니다.

$gamma$는 가속도 해석 시 구속식을 두번 미분했을 때 나왔던 바로 그 값입니다.

$Q$는 계에 작용하는 외력이 되겠죠.

우리는 위 식을 통해 시스템의 운동방정식을 나타낼 수 있습니다.

예제 - single pendulum (MATLAB)

다뤄볼 예제는 single pendulum입니다.

위에서 구했던 revolute joint의 자코비안을 가지고 쉽게 구현할 수 있습니다.

수식에 대한 설명은 위에서 끝냈으니 바로 해보죠.

main script

clc; clear all; close all force;

%% pendulum 형상 정보
w_Gr = 0.1; d_Gr = 0.1;
w_pendulum = 2; d_pendulum = 0.1;

%%
pos_cm1 = [1, 0]';
rot_ang = 0;
rotA = Atrans(rot_ang);

q1_0 = [0, 0, 0]';
q2_0 = [(rotA*pos_cm1)', rot_ang]';

dq1_0 = [0, 0, 0]';
dq2_0 = [0, 0, 0]';

Y0 = [q1_0; q2_0; dq1_0; dq2_0];
dt = 0.01;
tspan = 0 : dt : 5;
t_end = tspan(2);

%% RK4 적분
Y = zeros(length(tspan),12);
t = zeros(length(tspan),1);
for i = 1 : length(tspan)
    t(i) = tspan(i);

    K1 = EOM_pendulum(t(i),Y0);
    K2 = EOM_pendulum(t(i)+dt*0.5,Y0+0.5*dt*K1);
    K3 = EOM_pendulum(t(i)+dt*0.5,Y0+0.5*dt*K2);
    K4 = EOM_pendulum(t(i)+dt,Y0+dt*K3);
    
    Y0 = Y0 + dt*(K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)/6;
    Y(i,:) = Y0;

end
%% ode45 적분
% opts = odeset('RelTol',5.e-003,'AbsTol',5.e-003);
% [t, Y] = ode45(@EOM_pendulum, tspan, Y0,opts);

%% 적분 결과(q, dq) EOM에 집어넣어서 dq, ddq 뽑아내기
len_data = length(Y);
len_coord = length(Y0);
dY = zeros(len_data,len_coord);

for j = 1 : len_data
    dY_tmp = EOM_pendulum(tspan(j),Y(j,:));
    dY(j,:) = dY_tmp;
end

%% 그래프 그리기
figure('units','normalized','pos',[0.05, 0.5, 0.35, 0.4])
subplot(311);
hold on; grid on;
plot(t,Y(:,4),'r');
xlabel('Time [sec]'); ylabel('Position - x [m]');
subplot(312);
hold on; grid on;
plot(t,Y(:,5),'r'); 
xlabel('Time [sec]'); ylabel('Position - y [m]');
subplot(313);
hold on; grid on;
plot(t,Y(:,6),'r');
xlabel('Time [sec]'); ylabel('Angle [deg]');

%% 애니메이션
pendulum_Animation;

운동방정식

function dY = EOM_pendulum(t,Y0)

g = 9.8; % m/s^2
dof = 3; % 2차원, 1 body 당 3자유도
num_body = 2; % ground, pendulum

s12_x_L = 0; s12_y_L = 0; s21_x_L = -1; s21_y_L = 0;

s12 = [s12_x_L, s12_y_L]'; s21 = [s21_x_L, s21_y_L]';

body(1).m = 1; body(1).j = 1;
body(2).m = 10; body(2).j = 10;

M = zeros(dof*num_body);

for i = 1 : num_body
    body(i).q = [Y0(3*i-2), Y0(3*i-1), Y0(3*i)]';
    body(i).dq = [Y0(3*i-2+dof*num_body), Y0(3*i-1+dof*num_body), Y0(3*i+dof*num_body)]';
    body(i).A = Atrans(body(i).q(3));
    body(i).F_gravity = [0, -body(i).m*g, 0]';
    body(i).F_ext = [0, 0, 0]';
    M(3*(i-1)+1:3*i,3*(i-1)+1:3*i) = diag([body(i).m,body(i).m,body(i).j]);
end


body(1).F_net = body(1).F_gravity + body(1).F_ext;
body(2).F_net = body(2).F_gravity + body(2).F_ext;
F_net = [body(1).F_net', body(2).F_net']';

[p_q_fix11, gamma_fix11] = Jac_fix(s12(1), s12(2), body(1).q(3), body(1).dq(3), s21(1), s21(2), body(2).q(3), body(2).dq(3), dof,num_body, 1);
[p_q_rev12, gamma_rev12] = Jac_rev(s12(1), s12(2), body(1).q(3), body(1).dq(3), s21(1), s21(2), body(2).q(3), body(2).dq(3), dof,num_body, 1);

p_q = [p_q_fix11', p_q_rev12']';
gma = [gamma_fix11; gamma_rev12];

ddq = [M, p_q';p_q, zeros(length(gma))]\[F_net', gma']';
dY = [body(1).dq', body(2).dq', ddq(1:6)']';

end

자코비안(fixed joint)

function [p_q, gamma] = Jac_fix(s_i_x,s_i_y,q_i_e,dq_i_e,s_j_x,s_j_y,q_j_e,dq_j_e,dof,num_body,connec)

s_ij = [s_i_x, s_i_y]';
s_ji = [s_j_x, s_j_y]';
A_i = Atrans(q_i_e);
A_j = Atrans(q_j_e);

p_q = zeros(3,dof*num_body);

p_q_tmp = [ eye(3,3), zeros(3,3) ];

p_q(:,3*(connec-1)+1:3*connec+3) = p_q_tmp;

gamma = [0, 0, 0]';

end

자코비안(revolute joint)

function [p_q, gamma] = Jac_rev(s_i_x,s_i_y,e_i,de_i,s_j_x,s_j_y,e_j,de_j,dof,num_body,connec)

s_ij = [s_i_x, s_i_y]';
s_ji = [s_j_x, s_j_y]';
A_i = Atrans(e_i);
A_j = Atrans(e_j);

p_q = zeros(2,dof*num_body);

p_q_tmp = [ 1.0, 0.0, -s_i_x*sin(e_i)-s_i_y*cos(e_i), -1.0, 0.0, s_j_x*sin(e_j)+s_j_y*cos(e_j);
            0.0, 1.0, s_i_x*cos(e_i)-s_i_y*sin(e_i), 0.0, -1.0, -s_j_x*cos(e_j)+s_j_y*sin(e_j)];

p_q(:,3*(connec-1)+1:3*connec+3) = p_q_tmp;

gamma = A_i*s_ij*de_i^2 - A_j*s_ji*de_j^2;

end

변환행렬

function A = Atrans(e)

A = [cos(e), -sin(e); sin(e), cos(e)];

end

애니메이션

x_Gr = [-w_Gr, -w_Gr, w_Gr, w_Gr]; 
y_Gr = [-d_Gr, d_Gr, d_Gr, -d_Gr];
x_pendulum = [-w_pendulum*pos_cm1(1)/w_pendulum, -w_pendulum*pos_cm1(1)/w_pendulum, w_pendulum*pos_cm1(1)/w_pendulum, w_pendulum*pos_cm1(1)/w_pendulum]; 
y_pendulum = [-d_pendulum/2, d_pendulum/2, d_pendulum/2, -d_pendulum/2];

figure('units','normalized','pos',[0.45, 0.5, 0.35, 0.4])
grid on;
hold on;
Gr = fill(x_Gr, y_Gr, 'k');
pendulum = fill(x_pendulum, y_pendulum, 'y');
hold off;
axis([-3 3 -3 3]);


% M = VideoWriter('Test.avi');
% open(M);
for j = 1 : len_data
   
    tmp_A1 = Atrans(Y(j,3));
    tmp_A2 = Atrans(Y(j,6));
    
    tmp_Gr = [Y(j,1), Y(j,2)]' + [tmp_A1*[x_Gr(1), y_Gr(1)]', tmp_A1*[x_Gr(2), y_Gr(2)]',tmp_A1*[x_Gr(3), y_Gr(3)]',tmp_A1*[x_Gr(4), y_Gr(4)]'];
    tmp_pendulum = [Y(j,4), Y(j,5)]' + [tmp_A2*[x_pendulum(1), y_pendulum(1)]', tmp_A2*[x_pendulum(2), y_pendulum(2)]',tmp_A2*[x_pendulum(3), y_pendulum(3)]',tmp_A2*[x_pendulum(4), y_pendulum(4)]'];
    
    
    updated_Gr = tmp_Gr;
    updated_pendulum = tmp_pendulum;
    
    set(Gr, 'Xdata', updated_Gr(1,:),'Ydata',updated_Gr(2,:));
    set(pendulum, 'Xdata', updated_pendulum(1,:),'Ydata',updated_pendulum(2,:));
    
    drawnow;
    
    for k = 1 : 5000000
        temp = k;
    end

%     frame = getframe();
%     writeVideo(M, frame);
end

% close(M);

위 코드를 실행한 결과는 아래와 같습니다.

동영상 서비스가 종료되어 해당 콘텐츠를 재생할 수 없습니다.

비교할 대상은 없지만...

잘 작동하는 것 같습니다.

여기까지 평면에서의 운동방정식과 구속이 포함된 운동방정식을 구성하는 방법,

그리고 간단한 예제의 실습까지 해보았습니다.

프로그래머가 아닌지라 code가 허접하긴 하지만 양해부탁드리며,

여기까지 포스팅을 마치겠습니다.

잘못된 내용에 대한 지적이나 가르침은 환영입니다!

[동역학] 평면에서의 기구학(Planar kinematics)

슬기나무 — Mon, 24 Jan 2022 22:50:05 +0900

이번 포스팅에서는 평면에서의 기구학에 대해 다뤄보겠습니다.

본문의 내용은 참고문헌의 내용을 참고한 것임을 밝힙니다.

참고문헌: Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh

평면 기구학(Planar kinematics)

평면에 임의의 body $i$가 존재한다면, 해당 body의 운동을 기술하기 위해서는

3개의 좌표가 필요합니다. $x_i, y_i, \phi_i$가 그것입니다.

$x_i, y_i$는 평면 상의 위치를 나타내고, $\phi_i$는 얼마나 기울어져 있는지에 대한 자세를 나타냅니다.

body $i$위의 점 $P_i$를 가리키는 벡터 $\overrightarrow{r}_i^P$, 출처:Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh

위 그림에서 벡터 $r_i^P$는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$r_i^P = r_i+A_i s\prime_i^P \tag{1}$$

이 때,

$$A_i = \begin{bmatrix}\cos\phi_i &-\sin\phi_i \\ \sin\phi_i & \cos\phi_i \end{bmatrix}$$

입니다. 식 (1)을 조금 풀어서 쓰면 아래와 같습니다.

$$\begin{bmatrix} x_i^P \\ y_i^P \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_i \\y_i \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\cos\phi_i &-\sin\phi_i \\ \sin\phi_i & \cos\phi_i \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\xi_i \\\eta_i \end{bmatrix}$$

기구학적 구속(kinematic constraint)

우리가 실생활에서 접하는 기구라 부를 수 있는 구조물들은

모두 목적성을 가지고 저마다의 자유도를 가진 채 운동합니다.

여기에선 특정 자유도의 움직임을 제한하는 것을 joint라 부르기로 합니다.

리벳, 볼트, 못 등이 있을 수 있겠죠.

우리는 이와 같은 joint들을 구속 자유도에 따라 다르게 부르며,

이를 구속식($\Phi$, constraint equation)이라는 형태로 나타낼 수 있습니다.

Revolute joint

Revolute joint는 병진자유도를 구속하는 joint로써, 회전에 대한 자유도 1개만을 가집니다.

body $i$와 body $j$를 구속하는 Revolute joint, 출처:Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh

위 그림과 같이 벡터 $r_i^P = r_i+s_i^P$와 $r_j^P=r_j+s_j^P$가 동일하면

해당 점이 일치하니 그 점으로 구속되는 형태입니다.

수식으로 아래와 같이 정의됩니다.

$$\Phi^{(r,2)} \equiv r_i+A_i s\prime_i^P - r_j - A_j s\prime_j^P = 0$$

이를 조금 풀어쓰면 아래와 같습니다.

$$\Phi^{(r,2)} = \begin{bmatrix} x_i + \xi_i^P\cos\phi_i - \eta_i^P\sin\phi_i - x_j - \xi_j^P \cos\phi_j + \eta_j^P \sin\phi_j \\ y_i + \xi_i^P \sin\phi_i + \eta_i^P \cos\phi_i - y_j - \xi_j^P \sin\phi_j - \eta_j^P \cos\phi_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}$$

Translational joint

Translational joint는 회전자유도를 구속하는 joint로써, 병진에 대한 자유도 1개만을 가집니다.

병진과 회전자유도 각각 1개씩을 구속하는 구속식이 필요한데요.

회전자유도는 아래와 같은 구속식으로 구속가능합니다.

$$\Phi^{(t,1)} \equiv \phi_i - \phi_j - \left(\phi_i^0 - \phi_j^0\right) = 0$$

body $i$와 body $j$를 구속하는 translational joint, 출처:Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh

나머지 회전자유도 하나를 구속하는 방법은 위의 그림을 보면서 생각해봅시다.

body $i$ 위에 벡터 $n_i$가 존재한다고 했을 때,

body $i$ 위에서 body $j$ 위를 가리키고, 상호 병진운동하는 자유도의 방향과

같은 방향의 벡터 $d$를 만들면

벡터 $n_i$와 벡터 $d$가 항상 수직이면 이 기구는 직선운동만 합니다. 즉,

$$n_i^Td = 0$$

풀어서 쓰면 아래와 같습니다.

$$\left(x_i^P -x_i^R\right)\left(x_j^P-x_i^P\right)+\left(y_i^P-y_i^R\right)\left(y_j^P-y_i^P\right)=0$$

따라서 translational joint의 전체 구속식은 아래와 같이 정의됩니다.

$$\Phi^{(t,2)} \equiv \begin{bmatrix} \left(x_i^P -x_i^R\right)\left(x_j^P-x_i^P\right)+\left(y_i^P-y_i^R\right)\left(y_j^P-y_i^P\right) \\ \phi_i - \phi_j - \left(\phi_i^0 - \phi_j^0\right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

그런데 만약 3개 자유도 중 병진자유도 1개만 구속하고 싶다면 그 구속식은 어떻게 될까요?

translational joint의 구속식에서 각도에 대한 부분만 빼주면 되겠죠?

여기까지 회전과 병진자유도를 구속하는 각각의 joint에 대하여 알아보았습니다.

[동역학] 오일러 파라미터(Euler parameters) - (2)

슬기나무 — Thu, 13 Jan 2022 23:02:21 +0900

이번 포스팅에서는 이전 포스팅에서 못다한 이야기를 해보겠습니다.

이전 포스팅을 확인하시려면 아래를 눌러주세요.

[동역학] 오일러 파라미터(Euler parameters) - (1)

이번 포스팅에서는 오일러 파라미터에 대해 알아보겠습니다. (참고문헌: Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh) 오일러 파라미터(Euler parameters)란? 3차원 공간에서 구속되지..

study2give.tistory.com

오일러 파라미터를 활용하여 좌표변환행렬 구하기

이전 포스팅에서 아래와 같은 결과를 도출했었습니다.

$$\overrightarrow{p}^T\overrightarrow{p}-1=0$$

이 때, $\overrightarrow{p}=[e_0, e_1, e_2, e_3]^T$ 입니다.

이걸 조금 바꿔볼건데요.

$$\overrightarrow{p}\overrightarrow{p}^T=\begin{bmatrix}e_0 \\e_1\\e_2\\e_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_0 & e_1 & e_2 & e_3 \end{bmatrix}$$

$$=\begin{bmatrix}e_0^2 & e_0e^T \\e_0e & ee^T \end{bmatrix}$$

여기서 $e_0$는 스칼라이고, $e=\left[e_1,e_2,e_3\right]$인 벡터입니다.

그리고

$$e\times e=\widetilde{e}e=0$$

임을 알 수 있고,

$$\widetilde{e}\widetilde{e}=ee^T-e^TeI$$

$$=ee^T-\left(1-e_0^2\right)I$$

위 관계에서 우리는 두 matrix $G$와 $L$을 정의할 수 있습니다.

$$G=\begin{bmatrix}-e_1 & e_0 & -e_3 & e_2 \\-e_2 & e_3 & e_0 & -e_1 \\ -e_3 & -e_2 & e_1 & e_0 \end{bmatrix}$$

$$=\left[-e, \widetilde{e}+e_0I\right]$$

$$L=\begin{bmatrix}-e_1 & e_0 & e_3 & -e_2 \\-e_2 & -e_3 & e_0 & e_1 \\ -e_3 & e_2 & -e_1 & e_0 \end{bmatrix}$$

$$=\left[-e, -\widetilde{e}+e_0I\right]$$

여기서, $G$와 $L$ matrix는 $p$와 orthogonal함을 알 수 있습니다. 즉,

$$Gp=\left[-e,\widetilde{e}+e_0 I\right]\left[e_0, e^T\right]^T$$

$$=\left[-e_0e+\widetilde{e}e+e_0e\right]=0$$

같은 방법으로 $L$에 대해서도 확인해보면 마찬가지로

$$Lp=\left[-e_0e-\widetilde{e}e+e_0e\right]=0$$

임을 알 수 있습니다.

그리고, matrlx $G$와 $L$의 각 행 또한 orthogonal합니다. 따라서

$$GG^T=I$$

$$LL^T=I$$

$$\left(GG^T\right)^T=G^TG=I^T=I$$

$$\left(LL^T\right)^T=L^TL=I^T=I$$

가 성립합니다.

그런데 여기서 앞선 포스팅에서 말씀드렸던

$$A=\left(2e_0^2-1)\right)I+2\left(ee^T+e_0\widetilde{e}\right)$$를 $G$와 $L$로 표현할 수 있습니다.

$$GL^T=\left[-e, \widetilde{e}+e_0I\right]\begin{bmatrix}-e^T\\e+e_0I \end{bmatrix}$$

$$=ee^T+\left(\widetilde{e}+e_0I\right)\left(\widetilde{e}+e_0I\right)$$

$$=\left(2e_0^2-1\right)I+2\left(ee^T+e_0\widetilde{e}\right)$$

즉,

$$A=GL^T$$

의 결과가 도출됩니다.

(사실 여기서 $G$와 $L^T$를 왜 곱해볼 생각을 했는지는 잘 모르겠습니다....)

그럼 속도, 가속도 분석을 위해 좌표변환행렬의 미분도 알아내야겠죠?

$$\dot{A}=\dot{G}L^T+G\dot{L}^T$$

인데, 여기서 우리는 이미 구해놓은 matrix를 이용해 연산을 해보면

$$G\dot{L}^T=\dot{G}L^T$$

임을 알 수 있습니다. 따라서

$$\dot{A}=2\dot{G}L^T$$

로 표현가능합니다.

두번 미분한 형태의 표현도 알아보면

$$\ddot{A}=2\dot{G}\dot{L}^T+2G\ddot{L}^T$$

여기서 또한 우리는 $\ddot{G}L^T=G\ddot{L}^T$임을 알 수 있기 때문에 아래와 같이 표현도 가능합니다.

$$\ddot{A} = 2\dot{G}\dot{L}^T+2\ddot{G}L^T$$

참고문헌이 있어 꾸역꾸역 따라서 공부를 해보기는 했지만...

matrix 연산이 너무 복잡하다보니 처음 유도해낸 사람의 의식의 흐름을 따라가기 힘드네요.

어찌됐든 오일러 파라미터를 이용한 좌표변환행렬과 그 미분표현에 대해 알아보았습니다.

잘못된 부분에 대한 지적은 언제나 환영하며, 더 자세한 설명이 가능하신 분은 댓글로 가르침 부탁드립니다!

[동역학] 오일러 파라미터(Euler parameters) - (1)

슬기나무 — Wed, 12 Jan 2022 22:41:04 +0900

이번 포스팅에서는 오일러 파라미터에 대해 알아보겠습니다.

(참고문헌: Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh)

오일러 파라미터(Euler parameters)란?

3차원 공간에서 구속되지 않은 물체(unconstrained body)는

병진 3개 + 회전 3개, 총 6개의 좌표로 그 상태를 정의할 수 있습니다.

그리고 그 6개의 좌표는 global(x-y-z) 좌표계와 body-fixed($\xi-\eta-\zeta$) 좌표계의 관계로

정의할 수 있습니다.

그림1. 3차원 좌표계에서 병진/회전 운동이 일어난 경우(좌)와 회전운동만 일어난 경우(우)

이 때, 물체 위에 존재하는 모든 점은 body-fixed 좌표계에 놓여있기 때문에

global 좌표계를 기준으로도 정의할 수 있는데요.

이 관계를 설명하기 위한 수단이 오일러 파라미터입니다.

특히 3차원 회전에서는 각 축의 회전 순서에 따라 물체가 놓여있는 자세가 다를 수 있기 때문에

이를 잘 설명하는 것이 중요한데요.

그런 면에서 식은 다르지만 같은 용도로 사용하고 있는 방법이 오일러 각(Euler angle)이 되겠습니다.

[동역학] 오일러 각(Euler angle)

이번 포스팅에서는 오일러 각에 대해 알아보도록 합시다. 오일러 각(Euler angle) 오일러 각은 흔히 오일러 앵글이라고들 많이 부르는데, 3차원 공간에서 강체가 놓인 자세를 표현하기 위해 나타

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오일러 파라미터(Euler parameters)에서의 좌표변환 행렬

오일러 파라미터는 Euler's theorem으로부터 출발합니다.

Euler's theorem

"The general displacement of a body with one point fixed is a rotation about some axis."

대충 번역하면 한 점이 고정된 물체의 변위는 어떤 축이 회전한 결과와 같다는 말인데요.

즉, 임의의 시간 t에서 body-fixed 좌표계의 원점은

이 좌표축을 어떤 가상의 축으로 회전시키면 global 좌표계와 같아진다는 말입니다.

그럼 이것을 수식으로 표현할 수 있는 방법을 찾아야겠죠?

이 회전 각도와 회전 방향 축의 direction cosin으로 좌표 변환의 표현을 찾아봅시다.

그림2. 벡터의 회전

그림 2의 상황을 생각해봅시다.

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{OP}$가 어떤 회전축을 중심으로 회전하여

$\overrightarrow{s}'=\overrightarrow{OP}'$의 위치에 놓여있다고 생각해봅시다.

여기서 $\overrightarrow{u}$는 그 회전 축의 단위 벡터입니다.

$\overrightarrow{s}$는 아래와 같은 벡터 합으로 표현할 수 있습니다.

$$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP} \tag{1}$$

여기서 $\overrightarrow{ON}$의 방향은 $\overrightarrow{u}$와 같고

크기는 $\overrightarrow{s}'$을 $\overrightarrow{u}$ 상에 projection한 것과 같습니다.

따라서 아래와 같이 표현 가능합니다.

$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{s}'\right) \tag{2}$$

$\overrightarrow{NP}'$은 아래와 같이 표현 가능하며

$$\overrightarrow{NP}'=\overrightarrow{s}'-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{s}'-\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{s}'\right)$$

여기서 $\overrightarrow{NQ}$는 $\overrightarrow{NP}'$와 방향은 같고

크기는 $\overrightarrow{NP}$를 $\overrightarrow{NP}'$ 위에 projection한 것과 같기 때문에

아래와 같이 표현 가능합니다.

$$\overrightarrow{NP}=\left[\overrightarrow{s}'-\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{s}'\right)\right]\cos{\phi} \tag{3}$$

그리고 $\overrightarrow{QP}$의 방향은 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{s}'$이 이루는

평면에 수직이므로 두 벡터의 외적과 같고, 크기는 $\overrightarrow{NP}$에 $\sin{\phi}$를 곱한 것과 같습니다.

$\overrightarrow{NP}$의 크기는 $\overrightarrow{NP}'$과 같으므로 $\overrightarrow{QP}$는

$$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{s}'\sin{\phi} \tag{4}$$

와 같이 표현 가능합니다.

식 (2), (3), (4)를 식 (1)에 대입하여 정리하면 아래와 같이 정리됩니다.

$$\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}'\cos{\phi}+\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{s}'\right)\left(1-\cos{\phi}\right)+\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{s}'\sin{\phi} \tag{5}$$

여기서 몇가지 삼각함수에 관한 공식을 사용합니다.

$$\cos{\phi}=2\cos^2{\frac{\phi}{2}}-1$$

$$\sin{\phi}=2\sin{\frac{\phi}{2}}\cos{\frac{\phi}{2}}$$

$$1-\cos{\phi}=2\sin^2{\frac{\phi}{2}}$$

이 때,

$$\cos{\frac{\phi}{2}}=e_0 \tag{a}$$

$$\overrightarrow{u}\sin{\frac{\phi}{2}}=\overrightarrow{e} \tag{b}$$

라 합시다. 그러면 식 (5)는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\overrightarrow{s}=\left(2e_0^2-1\right)\overrightarrow{s}'+2\overrightarrow{e}\left(\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{s}'\right)+2e_0\overrightarrow{e}\times\overrightarrow{s}' \tag{6}$$

대수식으로 간단히 나타내면 아래와 같습니다.

$$s=\left(2e_0^2-1\right)s'+2e\left(e^Ts'\right)+2e_0\left(\widetilde{e}s'\right)$$

$$=\left[\left(2e_0^2-1\right)I+2ee^T+2e_0\widetilde{e}\right]s' \tag{7}$$

여기서 $e=\left[e_1, e_2, e_3\right]^T$인 벡터이고, $e_0$는 스칼라이며, $\widetilde{e}$는 아래와 같습니다.

$$\widetilde{e}=\begin{bmatrix}0 & -e_3 & e_2 \\e_3 & 0 & -e_1 \\ -e_2 & e_1 & 0 \end{bmatrix}$$

여기서 식 (7)을 잘 살펴보면 우리는 global 좌표계 기준의 벡터인 $s$와

body-fixed 좌표계 기준의 벡터인 $s'$사이의 관계를 알 수 있습니다.

$s'$앞의 행렬이 body-fixed 좌표계에서 global 좌표계로의 좌표변환 역할을 하고 있는데요.

다시 말해 이 경우에 좌표변환 행렬 $A$는 아래와 같습니다.

$$A=\left(2e_0^2-1\right)I+2\left(ee^T+e_0\widetilde{e}\right)$$

$$=2\begin{bmatrix}e_0^2+e_1^2-\frac{1}{2} & e_1e_2-e_0e_3 & e_1e_3+e_0e_2\\e_1e_2+e_0e_3 & e_0^2+e_2^2-\frac{1}{2} & e_2e_3-e_0e_1\\e_1e_3-e_0e_2 & e_2e_3+e_0e_1 & e_0^2+e_3^2-\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

여기서 $e_0, e_1, e_2, e_3$를 오일러 파라미터(Euler parameters)라 합니다.

그런데 우리는 식 (a), (b)로부터 오일러 파라미터가

각각 독립이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면

$$e_0^2+e^Te=e_0^2+e_1^2+e_2^2+e_3^2=\cos^2{\frac{\phi}{2}}+u^Tu\sin^2{\frac{\phi}{2}}=1$$

이 성립하기 때문이죠.

즉, $p=\left[e_0,e^T\right]^T=\left[e_0,e_1,e_2,e_3\right]^T$라 할 때,

$$p^Tp-1=0$$

이 성립합니다.

쓰다보니 분량이 너무 많아졌네요.

이 성질을 어디다가 써먹는지는 다음 포스팅에서 설명하겠습니다.

여기까지 오일러 파라미터에 대한 설명이었습니다.

틀린 내용에 대한 지적은 환영합니다!

다음포스팅을 보시려면 아래를 눌러주세요.

[동역학] 오일러 파라미터(Euler parameters) - (2)

이번 포스팅에서는 이전 포스팅에서 못다한 이야기를 해보겠습니다. 오일러 파라미터를 활용하여 좌표변환행렬 구하기 이전 포스팅에서 아래와 같은 결과를 도출했었습니다. $$\overrightarrow{p}^

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[동역학] 기구학적 구속(kinematic constraint) - Four-bar linkage

슬기나무 — Thu, 25 Nov 2021 22:49:35 +0900

이번 포스팅에서는 기구학적 구속에 대해 알아보겠습니다.

기구학적 구속(kinematic constraint)과 구속식(constraint equation)

기구학적 구속이란 어떤 기구의 운동을 규정된 경계에 제한하거나

한정된 상태로 정의하는 것을 말하며, 이를 흔히 조인트(joint)라 부릅니다.

제한하는 자유도의 갯수에 따라 회전 조인트(revolute joint), 병진 조인트(translational joint) 등

부르는 형태도 다양합니다.

회전 조인트(revolute joint)로 구속된 4절 기구(Four-bar linkage)

또한 기구학적 구속은 수식으로 나타낼 수 있는데요.

위 4절 기구를 예로 들면,

4절 기구의 꼭지점을 각각 경유하는 벡터 $\vec{O_2A}$, $\vec{AB}$, $\vec{BO_4}$, $\vec{O_4O_2}$의 합이

항상 0이면 각 꼭지점은 분리되지 않고 기구학적으로 구속되게 됩니다.

즉, 위 4절 기구를 구속하고 있는 구속식은 아래와 같습니다.

$$\vec{O_2A}+\vec{AB}+\vec{BO_4}+\vec{O_4O_2}=0$$

예제

위 4절 기구의 예시에 수치를 대입하여 구속식을 다시 한번 구해봅시다.

우선 2차원이기 때문에 각 좌표에 대한 구속식 총 2개가 필요합니다.

각 구속식을 $\phi_1$, $\phi_2$라 하고 두 구속식을 묶어

$\Phi=\begin{bmatrix} \phi_1\\\phi_2\end{bmatrix}$라 하겠습니다.

먼저 global coordinate의 수평 방향인 $x_1$축 방향과

수직 방향인 $y_1$축 방향에 대하여 구속식을 구하면 각각 아래와 같습니다.

$$\phi_1 = 5\cos{\theta_2}+9\cos{\theta_3}+7\cos{\theta_4}-10=0 \tag{1}$$

$$\phi_2 = 5\sin{\theta_2}+9\sin{\theta_3}+7\sin{\theta_4}=0 \tag{2}$$

만약 $\theta_2$에 대하여 위치, 속도의 초기값이 주어진다면

구속식 2개($\phi_1$, $\phi_2$), 미지수 2개($\theta_3$, $\theta_4$)이므로

우리는 이 방정식을 풀 수 있습니다.

초기값을 아래와 같이 가정해보죠.

$\theta_2 = \pi/3$ rad

$\dot{\theta_2}=2\pi$ rad/s

그렇다면 식 (1), (2)는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$9\cos{\theta_3}+7\cos{\theta_4}=7.50$$

$$9\sin{\theta_3}+7\sin{\theta_4}=-4.33$$

이대로는 비선형방정식이라 trial & error 방식으로 푸는 수 밖에 없겠습니다.

식 (1), (2)를 미분하여 속도, 가속도에 대하여 풀려고 해도

형태는 삼각함수가 섞인 비선형방정식의 형태로 나오게 됩니다.

그럼 이 식을 어떻게 풀까요?

이미 배웠습니다. 바로 뉴턴-랩슨법(Newton-Raphson method)!

[수치해석] 뉴턴-랩슨(Newton-Raphson)법 (with Python)

이번 포스팅에서는 Newton-Raphson법에 대해 알아보도록 합시다. 뉴턴-랩슨(Newton-Raphson)법 개요 뉴턴-랩슨법이란 미분가능한 함수 f(x)의 해를 수치적으로 접근하여 근사해(solution)을 구할 수 있게

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Newton-Raphson법

각 구속식 (1)과 (2)를 미분하여 도함수를 만들고,

위 공식에 집어넣기만 하면 됩니다.

각 구속식의 도함수를 $\phi_{1,\theta}$, $\phi_{2,\theta}$라 하겠습니다.

$$\phi_{1,\theta} = -9\sin{\theta_3}-7\sin{\theta_4} = 0$$

$$\phi_{2,\theta} = 9\cos{\theta_3}+7\cos{\theta_4} = 0$$

$\theta_3$, $\theta_4$의 초기값을 각각 0.33, 4.59라 두고

뉴턴-랩슨법을 반복해봅시다.

3회 반복 후에 $\Delta\theta_3$, $\Delta\theta_4$가 충분히 작아졌으므로

위 구속식의 수치해, 즉 좌표 값 $\theta_3$, $\theta_4$는

각각 $\theta_3$ = 0.2908 = 16.66˚, $\theta_4$ = 4.5513 = 260.77˚라 할 수 있습니다.

여기까지 기구학적 구속이 무엇인지,

그리고 그 구속 방정식을 푸는 방법에 대해서 알아보았습니다.

[재료역학] 파손(failure) 이론 - 정적 파손(static failure)

슬기나무 — Tue, 23 Nov 2021 22:04:24 +0900

이번 포스팅에서는 파손 이론에 대한 내용 중

정적파손에 대해 먼저 알아보도록 하겠습니다.

파손(failure) 이론이란?

파손은 부품이 두개 혹은 그 이상으로 분리되거나 모양이 바뀌어

부품의 원래 기능을 제대로 할 수 없게 된 상태를 말합니다.

파손은 정하중 상태에서 발생하는 정적파손과 동하중 상태에서 발생하는

피로파손으로 나뉩니다.

그리고 파손 이론은 이러한 파손현상을 복잡한 형상의 부품으로 실험하지 않고

단축인장실험 데이터로 어떻게 입체에 써먹을까 하는 것을 말합니다.

정적 파손(static failure)

정적 파손에 대하여 일반적으로 잘 쓰이는 세가지 이론에 대해 알아보겠습니다.

(1) 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory)

최대 전단응력 이론은 기계부품의 최대 전단응력이

단순 인장시편의 최대 전단응력과 같을 때 항복이 일어난다는 이론입니다.

Tresca 이론이라고도 합니다.

단순인장 상태에서 항복이 일어날 경우 최대 전단응력은 아래와 같습니다.

$$\tau_{max}=\frac{\sigma_Y}{2}$$

여기서 $\sigma_Y$는 항복응력입니다.

그리고 일반적인 응력 상태에서 세 개의 주응력이 $\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3$이라면

최대 전단응력 $\tau_{max}=\frac{\left\vert \sigma_1 -\sigma_3 \right\vert}{2}$ 이므로

최대 전단응력 이론은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\left\vert \sigma_1 -\sigma_3 \right\vert = \sigma_Y$$

만약 $\sigma_3 = 0$인 평면응력 상태라면, 최대 전단응력 이론은

$$\left\vert \sigma_1 -\sigma_2 \right\vert = \sigma_Y$$

이 되고, 이 식을 그래프로 나타내면 아래 영역과 같습니다.

최대 전단응력 이론의 안전영역과 항복경계

위 그래프의 안전영역은 탄성변형이 일어나는 재료가 안정한 영역이며,

바깥은 소성변형이 일어나는 불안정한 영역입니다.

경계선은 항복이 시작되는 시점을 의미합니다.

이 때, 최대 전단응력을 $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$로 나타낸다면

아래와 같습니다.

$$\tau_{max}=\sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}$$

위 식은 모어 원(Mohr's circle)에서 쉽게 유도할 수 있습니다.

(2) 전단변형에너지 이론(distortion energy theory)

전단변형에너지 이론은 기계부품의 전단변형에너지가

단순 인장 시편의 전단변형에너지와 같을 때 항복이 일어난다는 이론입니다.

이 이론은 von Mises이론으로 불리며, 연성재료의 파손에 가장 많이 쓰이는 이론입니다.

전단변형에너지 이론의 안전영역과 항복경계

위 그래프에서 탄성변형이 일어나는 안전영역은 점선으로 나타낸 영역의 안쪽이며,

점선 밖은 소성변형이 일어나는 불안정한 영역입니다.

일반적으로 3차원 응력상태에서 전단변형에너지는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$U_d = \frac{1+\nu}{3E}[\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}]$$

위 식을 구하는 과정은 아래 포스팅에 나타내었으니 참고하세요.

[재료역학] 전단변형에너지 공식 유도

이번 포스팅에서는 재료의 파손을 설명하기 위한 이론 중 하나인 전단변형에너지 이론에 쓰이는 전단변형에너지 공식을 유도해보겠습니다. 전단변형에너지 이론? 전단변형에너지 이론은 von m

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그리고 단순인장 상태에서 전단변형에너지는 아래와 같습니다.

$$U_d = \frac{1+\nu}{3E}\sigma_Y^2$$

항복이 일어나는 조건은 위 두 식의 값이 같을 때 이므로,

$$\sigma_Y = [\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}]^{\frac{1}{2}}$$

이 때, $\sigma_Y=\sigma_{VM}$를 유효응력(effective stress) 혹은 von Mises 응력이라 합니다.

만약 평면응력 상태라면 $\sigma_3=0$이므로,

$$\sigma_{VM} = [\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2]^{\frac{1}{2}}$$

와 같이 항복이 일어날 조건을 나타낼 수 있습니다.

(3) 최대 주응력 이론(maximum principal stress theory)

마지막으로 최대 주응력 이론은 Rankine 이론으로도 불리며,

어떤 부품의 최대 주응력이 단순인장 혹은 압축 시편의 최대 주응력과 같을 때

재료가 파단된다는 이론입니다.

그런데, 단순 인장 혹은 압축 시편에서의 최대 주응력은 그 극한강도인 인장강도와 같으므로,

$$\sigma_{max} = \sigma_u$$

로 나타낼 수 있습니다. 이 때, $\sigma_{max}$는 최대 주응력, $\sigma_u$는 인장강도 입니다.

주응력 $\sigma_1, \sigma_2$는 아래와 같이 나타낼 수 있으며

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}$$

이 중 절대값이 큰 것이 최대 주응력이 됩니다.

최대 주응력 이론에 의한 안전영역은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

최대 주응력 이론의 안전영역과 파단 경계

여기까지 대표적으로 쓰이는 3가지 파손이론에 대해 알아보았습니다.

[재료역학] 전단변형에너지 공식 유도

슬기나무 — Mon, 15 Nov 2021 23:11:01 +0900

이번 포스팅에서는 재료의 파손을 설명하기 위한 이론 중 하나인

전단변형에너지 이론에 쓰이는 전단변형에너지 공식을 유도해보겠습니다.

전단변형에너지 이론?

전단변형에너지 이론은 von mises 이론이라고도 불리며,

재료의 파손을 설명하기 위해 제안된 이론 중 하나입니다.

재료의 파손에 대한 내용은 추후 포스팅에서 설명드리도록 하겠으며,

본 포스팅에서는 해당 이론에 쓰이는 전단변형에너지 공식을 유도해보겠습니다!

전단변형에너지 공식 유도

전단변형에너지를 알기 위해서는

총 변형에너지와 체적변형에너지를 알아야 합니다.

전단변형에너지는 총 변형에너지에서 체적변형에너지를 뺀 값이기 때문이죠!

$$ 전단변형에너지 = 총 변형에너지 - 체적변형에너지$$

총 변형에너지

3차원 응력 상태에서 총 변형에너지는 아래와 같습니다.

$$U=\frac{1}{2}\sigma_1 \epsilon_1 + \frac{1}{2}\sigma_2 \epsilon_2 + \frac{1}{2}\sigma_3 \epsilon_3$$

이 때, 응력과 변형률의 관계는 각각 아래와 같죠.

$$\epsilon_1 = \frac{1}{E}[\sigma_1 -\nu(\sigma_2 +\sigma_3)]$$

$$\epsilon_2 = \frac{1}{E}[\sigma_2 -\nu(\sigma_1 +\sigma_3)]$$

$$\epsilon_3 = \frac{1}{E}[\sigma_3 -\nu(\sigma_1 +\sigma_2)]$$

위 식을 총 변형에너지에 대입하여 정리하면 아래와 같이 총 변형에너지를 나타낼 수 있습니다.

$$\therefore U=\frac{1}{2E}[\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-2\nu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)] \tag{1}$$

체적변형에너지

체적 변형에너지는 부피의 변형률인 체적변형률로부터 계산되며,

체적변형률 $\Delta$는 아래와 같습니다.

$$\Delta = (1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)(1+\epsilon_3)-1$$

이 때 $\epsilon$이 매우 작다고 가정하면 $\Delta$는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\Delta = \epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3$$

단위 체적 당 받는 응력에 의한 체적변형에너지는

아래와 같이 구할 수 있습니다.

$$U_v = \frac{1}{2}p\Delta=\frac{1}{2}(\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3})(\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3)$$

$$\therefore U_v = \frac{1}{6E}(\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3})[\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3-2\nu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)] \tag{2}$$

전단변형에너지

이제 우린 위에서 구한 결과를 이용하여 전단변형에너지를 구할 수 있습니다.

식 (1)에서 식 (2)를 빼면 됩니다.

식이 꽤 복잡하니 결과만 정리해서 나타내면 아래와 같습니다.

$$U_d = \frac{1+\nu}{3E}[\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}]$$

시간이 나시면 직접 빼보셔도 되는데 꽤 많이 귀찮으니 그냥 결과만 참고하시는게.. ^^

여기까지 전단변형에너지 공식에 대해 알아보았습니다.

[재료역학] 본 미세스 응력(Von mises stress)

슬기나무 — Thu, 30 Sep 2021 17:32:19 +0900

이번 포스팅에서는 본 미세스 응력에 대하여 알아봅시다.

본 미세스 응력(von mises stress)이란?

부르기에 따라 본 미세스 응력, 폰 미세스 응력이라고 부르기도 하는 이 응력은

흔히 등가응력(equivalent stress)으로 불리는 특수한 목적을 가진 응력입니다.

물체가 하중을 받게 되면 더 이상 외력을 견디지 못하고 파괴되는 시점이 오는데,

이러한 파괴를 예측하는 기준이 되는 응력을 항복응력(Yield stress)이라고 하며,

이 항복응력의 대표적인 기준으로써 본 미세스 응력이 쓰입니다.

예를 들어 특정 지점에서 각 3개의 normal stress, shear stress가 발생할 때

각 응력 성분들만으로는 물체가 외부하중에 의해 안전할지, 파괴될지를 판단할 수 없습니다.

이 때 각 응력 성분들로부터 계산되어지는 본 미세스 응력은

그 지점에서의 응력을 대표하여 물체의 안전 여부를 판단할 수 있습니다.

본 미세스 응력 공식

본 미세스 응력을 구하는 공식을 아래와 같이 정리하였습니다.

출처: 위키피디아(https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises_yield_criterion)

- 일반적인 경우

$$\sigma_V = \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2+(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^2+(\sigma_{zz}-\sigma_{xx})^2]+3(\sigma^2_{xy}+\sigma^2_{yz}+\sigma^2_{xz})}$$

- 주축(principal axis)에 작용하는 응력

$$\sigma_V = \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^2]}$$

- 평면응력(plane stress) 상태

$$\sigma_V = \sqrt{\sigma^2_{xx}-\sigma_{xx}\sigma_{yy}+\sigma^2_{yy}+3\sigma^2_{xy}}$$

- 주축(principal axis)에 작용하는 평면응력(plane stress) 상태

$$\sigma_V = \sqrt{\sigma^2_{1}-\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma^2_{2}}$$

- 순수전단(pure shear) 상태

$$\sigma_V = \sqrt{3}\left\vert\sigma_{xy}\right\vert$$

- 단축(uniaxial)응력 상태

$$\sigma_V = \sigma_{x}$$

여기까지 본 미세스 응력에 대하여 알아보았습니다.

[정보] 연말정산

슬기나무 — Mon, 13 Sep 2021 21:44:04 +0900

이번 포스팅에서는 연말정산에 대하여 알아보겠습니다.

연말정산

연말정산이란 소득 발생 시 원천징수하는 소득세와 그 해에 납부했어야할 세금을 계산하여

만약 더 납부했다면 환급하고, 덜 납부했다면 추가로 징수하는 것을 말합니다.

근로소득자라면 이 연말정산에 대한 내용을 필히 숙지하여

세금을 더 내거나 덜 내서 억울한 일이 없도록 하여야 합니다.

여태까지는 연말정산 관련 서류를 근로자가 직접 챙겨야하는 일이 많았는데,

내년 연말정산(2021년 귀속분)부터 근로자는 홈택스에 접속할 필요 없이

회사가 정리한 서류를 확인만 하면 되도록 간소화된다고 하니

근로자 입장에서는 희소식이 아닐 수 없습니다.

소득공제 & 세액공제

기본적으로 아무 공제도 받지 않을 경우,

아래와 같이 과세 표준에 따라 소득별로 세율과 누진공제액이 적용됩니다.

과세 표준	세율	누진공제
1,200만원 이하	6%	-
1,200만원 초과 4,600만원 이하	15%	108만원
4,600만원 초과 8,800만원 이하	24%	522만원
8,800만원 초과 1억5천만원 이하	35%	1,490만원
1억5천만원 초과 3억원 이하	38%	1,940만원
3억원 초과 5억원 이하	40%	2,540만원
5억원 초과	42%	3,540만원

예를 들어 1년에 3,000만원을 받는 근로자의 경우

3,000만원 x 24%(세율) - 522만원(누진공제) = 198만원의 소득세를 납부하여야 합니다.

하지만 우리에겐 소득공제와 세액공제가 있습니다!

소득공제

소득공제란 '세금 부과 대상이 되는 소득을 줄여주는 것'을 말합니다.

세금은 소득에 세율을 곱해 계산되기 때문에 소득이 줄어들면 세금도 줄어들겠죠!

1. 전/월세대출 원리금 상환 시 소득공제

전/월세로 빌린 돈의 원리금을 상환하는 경우 상환금의 40%까지 공제해줍니다.

또한 주택청약통장 납입액도 소득공제 대상이며,

총 급여액 7,000만원 이하 무주택 세대주의 경우

연 240만원 한도에서 납입한 금액의 40%까지 공제해줍니다.

위의 주택임차차입금 소득공제와 합해 최대 300만원까지 공제 가능합니다.

2. 카드 소득공제

근로자가 총급여의 25% 초과한 금액을 신용카드, 체크카드, 현금 등으로 사용하면

초과금액에 대하여 최대 300만원 한도 내에서 소득공제 해줍니다.

'총급여의 25% 초과한 금액'이라는 조건을 잘 이해하여야 합니다.

1,000만원을 버는 근로자가 연간 100만원을 현금으로 사용했다고 해서

100만원의 30%인 30만원을 소득공제 받을 수 있는 것이 아닙니다.

총급여의 25%인 250만원 이하로 사용하였기 때문입니다.

만약 연간 350만원을 현금으로 사용하였다면

총급여의 25%인 250만원을 초과한 사용금 100만원에 대하여

공제율 30%가 적용되어 30만원이 소득공제 됩니다.

공제율은 각각 신용카드는 15%, 직불/체크카드,현금영수증은 30%,

전통시장,대중교통은 40%입니다.

하지만 2021년에 한하여, 소득공제 한도와 소득공제율이 변경되었습니다.

변경된 소득공제율. 출처 - https://help.jobis.co/hc/ko/articles/900003912446--2021-%EC%97%B0%EB%A7%90%EC%A0%95%EC%82%B0-%EC%A4%80%EB%B9%84-%EA%B0%80%EC%9D%B4%EB%93%9C-%EB%B3%80%EA%B2%BD%EB%82%B4%EC%9A%A9-%ED%8F%AC%ED%95%A8-

변경된 소득공제 한도. 출처 - https://help.jobis.co/hc/ko/articles/900003912446--2021-%EC%97%B0%EB%A7%90%EC%A0%95%EC%82%B0-%EC%A4%80%EB%B9%84-%EA%B0%80%EC%9D%B4%EB%93%9C-%EB%B3%80%EA%B2%BD%EB%82%B4%EC%9A%A9-%ED%8F%AC%ED%95%A8-

3. 인적공제

본인과 부양가족 1인당 150만원 씩 소득공제됩니다.

부양가족은 직계존/비속에 대하여 연간 소득이 100만원 이하이며,

나이가 만 20세 이하이거나 만 60세 이상이여야 합니다.

세액공제

세액공제란 이미 계산된 세금에서 공제액만큼을 차감해주는 것을 말합니다.

1. 퇴직연금(IRP), 연금저축

퇴직연금은 연간 한도 700만원 내에서 16.5%나 세액공제(연소득 5,500만원 이하)해주기 때문에

꼭 챙겨야하는 공제항목 중 하나입니다.

연소득이 5,500만원을 초과하는 경우 공제율은 13.2%로 줄어듭니다.

연금저축도 같이 가입한 경우 이 700만원의 한도를 공유하게 되며,

연금저축의 연간 세액공제 한도는 400만원입니다.

그래서 둘 다 챙기는 경우 연금저축 400만원, 퇴직연금 300만원 씩 납입하여

연 700만원 한도의 세액공제 혜택을 챙기는 방법이 일반적입니다.

2. 보험

실비보험, 암보험, 자동차보험 등 보장성 보험료도

연 100만원 한도 내에서 12%의 세액공제를 해줍니다.

3. 의료비

총급여액의 3%를 초과한 금액에 대해서 세액공제 가능합니다.

본인은 한도없이 공제가능하며, 부양가족에 대해서는 연 700만원 한도 내에서 공제가능합니다.

세액공제율은 난임시술 의료비는 20%, 그 외는 15% 정도라고 보시면 됩니다.

4. 교육비

본인 혹은 부양가족에 대하여 지출한 교육비 또한 15%의 세액공제가 가능합니다.

본인은 한도없이 공제가능하며, 부양가족 중 미취학아동~고등학생까지는 1명당 연 300만원 한도,

대학생은 1명당 연 900만원 한도 내에서 세액공제됩니다.

장애인의 경우 한도없이 공제 가능합니다.

5. 기부금

종교단체에 기부금을 내는 경우

1천만원 이하인 경우 15%, 1천만원 초과분에 대해서는 30% 세액공제를 해줍니다.

이 정도 내용을 숙지하고 계신다면 여러분의 연말정산은 성공적일 것입니다!

여기까지 연말정산에 대하여 알아보았습니다.

[정보] 금산분리(Separation of industrial and financial capital)

슬기나무 — Sun, 12 Sep 2021 22:24:00 +0900

이번 포스팅에서는 금산분리가 무엇인지에 대해 알아보겠습니다.

금산분리(Separation of industrial and financial capital)

금산분리법은 아래와 같은 법을 통해

금융자본과 산업자본 상호간의 지분 소유를 금지하고 있습니다.

1. 금융지주회사는 금융업이나 보험업, 혹은 이와 밀접한 관련이 있는 회사의 주식을 제외한

다른 회사의 주식을 취득할 수 없다.

2. 비금융회사는 은행주식의 4%를 초과하여 보유할 수 없고(지방은행은 15%),

의결권을 행사하지 않는 조건으로 금융감독위원회의 승인을 얻은 경우 10%까지 보유가 가능하며,

이와 똑같은 법이 금융지주회사법에도 등재되어 있다.

3. 은행과 보험회사는 다른 회사의 의결권이 있는 발행주식의 15%를 초과하는 주식을 소유할 수 없다.

출처: 위키백과(https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%88%EC%82%B0%EB%B6%84%EB%A6%AC%EB%B2%95)

한마디로 금융과 산업을 분리한다는 원칙입니다.

그런데 우리 나라에서 특수은행인 산업은행은 한국산업은행법에 의해

은행법 상 금산분리 원칙의 적용이 배제됩니다.

하지만 무조건 배제되는 것은 아니고, 시행령에서 15% 이상의 주식취득을 제한하면서

산업은행의 설립 취지에 따른 10가지 예외 사유를 정하고 있습니다.

인터넷전문은행?

은터넷전문은행 등장 이후 플랫폼 기업에 대한 은산분리 완화요구가 높아졌습니다.

그 결과 카카오뱅크는 인터넷전문은행법 적용을 받아 금산분리 규제를 받지 않습니다.

기존 은행들은 금산 분리 규제에 따라

비금융 기업이 은행 지분을 10% 이상(의결권 4% 이상) 가지지 못하지만,

카카오는 관련 법에 의해 카뱅 지분을 약 27% 보유할 수 있었습니다.

하지만 최근 플랫폼 기업에 대한 규제 요구가 높아졌고,

최근 카카오와 네이버는 연일 주가가 급락하고 있습니다.

또한 최근 고승범 금융위원장 취임 이후

'동일 기능 동일 규제'를 외치고 있는 상황에서

규제가 진행될 것은 확실해보이며, 어떻게 진행될지는 지켜봐야겠습니다.

[정보] 주식 매매 시 발생하는 세금

슬기나무 — Thu, 9 Sep 2021 20:12:10 +0900

이번 포스팅에서는 주식 매매 시 발생하는 세금에 대해 알아보겠습니다.

주식 매매 관련 비용

주식 매매 시 보통 HTS, MTS를 통해 많이들 거래합니다.

그런데 이 때 비용이 발생하게 되는데요.

흔히 '거래수수료'라고 부르는 이 금액은 엄밀히 말하면

증권사에서 가져가는 수수료 등과 국가에 내는 세금이 합쳐진 금액입니다.

하지만 요즘 수수료는 증권사에서 신규 투자자를 유치하기 위해

'평생 무료 혜택'을 제공하여 많이들 없어지는 추세이긴 합니다.

하지만 수수료가 0원이라고 해도 세금이 있기 때문에 거래에 비용이 발생하지 않는건 아니라는 점!

언제 발생하나?

우선 매수할 경우와 매도할 경우, 그리고 배당을 받는 경우로 나누어 살펴봅시다.

매수하는 경우

매수 시에는 '위탁거래 수수료', '유관기관 수수료'가 발생합니다.

'위탁거래 수수료'는 주식을 거래할 때 증권사에 내는 수수료를 말하며,

증권사에서 '평생 무료'라고 말하는 부분은 바로 이 금액을 말합니다.

증권사마다 다르며, 해당 증권사의 홈페이지나 앱 등을 통해 쉽게 확인할 수 있습니다.

'유관기관 수수료'는 증권사가 한국거래소와 한국예탁결제원에 납부해야하는 수수료입니다.

이 역시 증권사마다 다르며, 해당 증권사의 홈페이지나 앱을 통해 확인할 수 있습니다.

매도하는 경우

매도 시에는 '위탁거래 수수료', '유관기관 수수료'에 더해 '증권거래세'가 추가로 발생합니다.

증권거래세는 코스피와 코스닥 모두 0.23%이며, 매도 시 증권사에서 원천징수하기 때문에

별도로 신고하여 납부하지 않아도 되는 세금입니다.

만약 100만원 매도한다면 이 때 발생하는 세금은 2300원이라고 보시면 되겠습니다.

또한 매도 시 주가 상승으로 인한 수익이 발생한다면 '양도세'가 발생하는데요.

국내 주식의 경우 비상장 주식을 양도하거나, 대주주 요건에 해당하는 경우가 아니라면

'양도세'는 발생하지 않습니다.

대주주 요건. 출처 - 허니문스탁(https://economyplay.tistory.com/364)

양도차익의 크기에 따라 22%~33%의 양도세가 발생하며,

2023년부터는 1년 양도차익이 5천만원 이상 발생하게 되면

대주주가 아니더라도 양도세를 내도록 세법이 바뀔 예정입니다.

해외 주식의 경우엔 좀 다른데요.

매도 시 양도차익 연간 250만원까지는 과세하지 않으며, 초과하는 경우 초과분에 한하여 22%의 양도세가 발생합니다.

국내에 비해 세금이 많다고 생각할 수도 있지만, 해외주식 양도차익은 금융소득 종합과세에 포함되지 않고

일괄 22%의 양도세만 내면 되기 때문에 근로소득, 사업소득 등 기타 소득이 있는 경우

해외주식에 투자하는 것이 절세의 측면에서는 유리할 수 있습니다.

또한 해외주식으로 연 250만원 이상의 양도 소득을 올렸다면 다음해 5월에 국세청에 자진 신고하여

세금을 납부 하여야 합니다.

배당을 받는 경우

배당을 받는 경우 국내주식과 해외주식 모두

15.4%의 세금을 증권사에서 원천징수하여 납부합니다.

따라서 투자자가 직접 신고하지 않아도 자동으로 납부됩니다.

여기까지 주식 거래 시 발생하는 비용(수수료, 세금)에 대해 알아보았습니다.

[정보] 퇴직연금

슬기나무 — Thu, 9 Sep 2021 18:35:31 +0900

이번 포스팅에서는 퇴직연금에 대하여 알아보겠습니다.

퇴직연금 제도란

퇴직연금제도는 근로자의 노후 생활을 위한 소득을 유지시키기 위해 사용자(일반적으로 회사)가

퇴직급여로 지급할 재원을 금융사 등에 적립하고, 근로자 혹은 사용자가 운용하여 퇴직 시 지급하는 제도입니다.

퇴직연금 종류(DB, DC, IRP)

운용 주체 및 가입 방법 등에 따라 확정급여형(DB), 확정기여형(DC), 개인형퇴직연금(IRP)로 나뉘는데요.

확정급여형 퇴직연금(DB, Defined Benefits retirement pension)

이름에서 알 수 있듯 근로자가 퇴직할 때 받을 퇴직 급여가 사전에 확정된 연금입니다.

사용자(회사)가 매년 금융회사에 적립 및 운용하며,

근로자는 그에 따른 정해진 수준의 퇴직금을 수령하게 됩니다.

이때 금액은 평균임금과 근속연수에 따라 정해지는데요.

$$ 확정급여형(DB) 퇴직금 = 평균임금 × 근속연수 $$

이 때 평균임금은 퇴직 시 직전 3개월 간 임금의 평균을 말합니다.

확정기여형 퇴직연금(DC, Defined Contribution retirement pension)

확정급여형과는 달리 사용자(회사)가 납입할 연금 부담금이 사전에 확정된 연금입니다.

사용자가 근로자 개별 계좌에 부담금을 납입하면, 근로자가 직접 운용하게 되는데요.

근로자가 잘 굴린 만큼 높은 수익률을 기대할 수 있기 때문에 투자에 관심이 많은 요즘 각광받는 제도입니다.

최종적으로 근로자는 사용자가 납입한 연금부담금과 운용 손익을 연금으로 수령하게 됩니다.

개인형 퇴직연금(IRP, Individual Retirement Pension)

이 연금은 근로자가 재직 중에 자율로 가입하거나,

퇴직 시 받은 퇴직급여를 계속해서 운용하고 싶을 때 사용할 수 있는 연금제도입니다.

이 제도에는 연말정산 시 세액공제 혜택이 있습니다.

납입금에 대해 연간 700만원까지 세액공제(최대 16.5%)되며, 최대 1800만원까지 납입가능합니다.

세액공제 한도 700만원에는 연금저축(400만원)이 포함되기 때문에

만약 연금저축을 400만원 납입 중이라면 퇴직연금으로 공제받을 수 있는 한도는 300만원이 됩니다.

연금저축과 동일하게 운용 중 발생한 수익에 대해서는 연금 수령 시점까지 과세이연되어

세금으로 빠져나갈 돈까지 함께 굴려 복리의 효과를 제대로 노려볼 수 있는 이점이 있습니다.

연금 수령 시 세금

DB형이든 DC형이든 IRP든 나중에 연금을 수령하게 되면 세금을 내게 됩니다.

이 때 연금을 수령하는 시점 및 금액에 따라 매겨지는 세율이 다른데요.

연간 1200만원까지는 분리과세하며, 이때의 연금소득세는

70세 미만인 경우 5.5%

70세 이상 80세 미만인 경우 4.4%

80세 이상인 경우 3.3%

입니다.

만약 연간 연금수령액이 1200만원이 초과하게 되면 종합소득과세되어

세율이 급격하게 높아지기 때문에 주의하여야겠습니다.

종합소득 과세표준. 출처 - 국세청(https://www.nts.go.kr/nts/cm/cntnts/cntntsView.do?mi=2227&cntntsId=7667)

1200만원이 너무 적게 느껴질 수 있지만

이 금액은 시간이 지남에 따라 바뀔 수 있는 부분이기 때문에

너무 걱정할 필요는 없을 것 같습니다.

여기까지 퇴직연금에 대해 알아보았습니다.

[정보] 주택청약 종합저축

슬기나무 — Wed, 8 Sep 2021 20:34:34 +0900

이번 포스팅에서는 주택청약 종합저축에 대해 알아봅시다.

주택청약 종합저축?

주택청약 종합저축이란 주택청약권이 주어지는 저축상품으로

이 계좌가 없다면 적어도 우리나라에선 아파트 청약이 불가합니다.

내 집 마련의 꿈에 다가가고 싶다면 하나쯤은 마련해두는게 좋은 상품입니다.

국민주택 / 민영주택

주택 청약을 할 때 두가지 중 하나를 선택하게 됩니다.

국민주택과 민영주택인데요.

이 때 국민주택이냐, 민영주택이냐에 따라 1순위가 되는 조건이 다릅니다.

국민주택

국민주택의 경우 가입 기간과 납입 횟수가 중요합니다.

1회 납입 시 10만원 까지만 인정을 하기 때문에

50만원이 생겼다고해서 한번에 납입할 것이 아니라,

50만원을 10만원 씩 나눠 5회 납입하는 것이 유리합니다.

출처 - https://blog.toss.im/article/for-housing-subscription

또한 국민주택은 대개 저렴하게 분양되기 때문에

아래와 같은 소득/자산 조건이 만족되어야 합니다.

그리고 당연히 무주택자여야 합니다.

출처 - https://blog.toss.im/article/for-housing-subscription

민영주택

민영주택의 경우엔 가입 기간과 납부 금액을 맞추는 것이 더 중요한데요.

가입 기간이 12개월 이상이고 2만원 이상 12회 이상 납입하여 면적별 예치금을 맞춰두면

1순위 조건을 만족시킬 수 있습니다.

국민주택과는 달리 자산/소득 기준은 존재하지 않습니다.

출처 - https://blog.toss.im/article/for-housing-subscription

그 중 비교적 젊은 2030세대의 경우 가점제보다는

추첨제가 좀 더 당첨 가능성이 있다고 할 수 있는데요.

가점제는 무주택기간(최대 32점), 부양가족 수(최대 35점), 청약통장 가입기간(최대 17점)을

합산하여 점수가 높은 순으로 당첨자를 선정하기 때문에

무주택기간에서 높은 점수를 받지 못하는 경우 매우 불리합니다.

반면 추첨제는 1순위 조건만 만족하면 추첨으로 당첨자를 선정하는 방식이기 때문에

가점이 부족한 경우 추첨제를 노려볼 수 있습니다.

추첨제는 85m$^2$초과 주택의 경우 적용되며, 지역에 따라 아래 금액만큼이

청약통장에 예치되어 있어야 합니다.

출처 - https://blog.toss.im/article/for-housing-subscription

가입기간이 2년 이상이고 예치금이 1,500만원 이상이라면

모든 면적에서 1순위를 만족할 수 있기 때문에 이 조건을 맞춰놓는 것도 좋을 것 같습니다.

여기까지 주택청약 종합저축에 대해 알아보았습니다.

[정보] 공모주 배분 방식

슬기나무 — Wed, 8 Sep 2021 19:57:55 +0900

이번 포스팅에서는 공모주 배분 방식에 대해 살펴봅시다.

공모주란?

공모주의 공모는 '공개모집'을 뜻합니다.

기업은 기업공개(IPO)를 통해 주식시장에 참여하려 할 때,

청약을 통해 자신에게 투자할 주주들을 모집합니다.

해당 기업의 사업 포트폴리오, 미래가치 등으로 인해

공모주에는 통상 일정 부분 할인율이 적용되어있다고 여겨지기 때문에

청약을 하는 기관, 외국인, 개인 등은 일정 수익률을 기대하고 청약에 나섭니다.

소위 '따상', '따상상'이라는 용어가 그렇기 때문에 생겨나는 것인데요.

'따상'이란 상장 첫 날 기업의 주가가 공모가의 2배로 시초가를 형성하고,

일일 상한가인 +30%를 기록하는 것을 의미합니다.

'따상상'은 따상 다음 날 까지도 상한가를 기록하는 것을 말합니다.

이렇듯 공모주 청약은 높은 수익률로 인해 높은 경쟁률을 가지는 편입니다.

공모주 청약 분배 방식

얼마 전까지만 해도 우리나라 공모주의 청약 분배 방식은

청약에 높은 증거금을 넣을 수록 많은 주식을 받는 '비례 배분제'를 채택하고 있었습니다.

비례 배분제

'비례 배분제'는 증거금을 많이 납입할 수록 더 많은 주식을 배분받는 방식입니다.

그렇다보니 SK바이오팜, 카카오게임즈 등 초대형 IPO에서 증거금 1억을 납입해도

몇 주밖에 받지 못하는 상황이 연출되었습니다.

경쟁률을 기반으로 공모주를 배분하다보니,

더 많은 주식을 청약한 사람이 더 많이 받는 구조였기 때문이죠.

이에 금융당국은 올해부터 증권신고서를 제출하는 기업에게 '균등 배분제'를 의무화했습니다.

균등 배분제

'균등 배분제'는 최소 청약 물량인 10주만 청약을 하더라도

해당 증거금을 납입한 투자자 모두에게 일반 청약 물량을 고르게 배정합니다.

즉, 일반투자자 대상 청약 물량 중 50% 이상을 계좌 수에 따라 균등하게 배정하고,

나머지는 기존의 비례 배분 방식으로 배정합니다.

여전히 많은 증거금을 납입하면 많은 물량을 받는 구조이긴 하나,

개인 투자자로써는 10주만 청약하더라도 1~2주 정도는 챙겨볼 수 있는 기회가 생긴 것이죠.

예전과 달리 개인 투자자가 주식시장에 많은 관심을 보임으로써

증권가에도 변화가 생겨나고 있는 것 같습니다.

부디 앞으로도 많은 개인들이 자본시장에 관심을 가졌으면 하는 바람입니다.

여기까지 공모주의 배분 방식에 대해 알아보았습니다.

[유한요소법] 최소 포텐셜 에너지의 원리(principle of minimum potential energy)

슬기나무 — Tue, 7 Sep 2021 22:43:18 +0900

이번 포스팅에서는 최소 포텐셜 에너지의 원리에 대해 알아보겠습니다.

최소 포텐셜 에너지의 원리(principle of minimum potential energy)

최소 포텐셜 에너지의 원리란,

보존계에서 탄성체는 포텐셜 에너지를 최소화하는 방향으로 변형한다는 것입니다.

그 결과 물체는 안정적인 평형상태에 놓이게 됩니다.

우리는 이 원리를 이용해서 탄성계의 운동방정식을 유도할 수 있습니다.

최소 포텐셜 에너지의 원리 예제

출처: Introduction to Finite Elements in Engineering, 4th Ed.

위 그림과 같은 탄성계를 고려해봅시다.

스프링 변형에 의한 potential energy 및 force에 의한 일을 고려하여

total energy를 구하면 아래와 같습니다.

$$E = \frac{1}{2}k_1(q_1-q_2)^2+\frac{1}{2}k_2q_2^2+\frac{1}{2}k_3(q_3-q_2)^2+\frac{1}{2}k_4q_3^2-F_1q_1-F_3q_3 \tag{1}$$

최소 포텐셜 에너지의 원리에 의해 계의 평형상태에서 포텐셜 에너지는 최소값을 가지므로

식 (1)을 미분한 결과는 0이 되어야 합니다.

즉,

$$\frac{\partial E}{\partial q_i}=0, i=1,2,3$$

따라서 각 좌표에 대하여 편미분하면

$$\frac{\partial E}{\partial q_1}=k_1(q_1-q_2)-F_1=0$$

$$\frac{\partial E}{\partial q_2}=-k_1(q_1-q_2)+k_2q_2-k_3(q_3-q_2)=0$$

$$\frac{\partial E}{\partial q_3}=k_3(q_3-q_2)+k_4q_3-F_3=0$$

위 식을 이용하여 $Kq=F$형태의 운동방정식을 나타내면 아래와 같습니다.

$$\begin{bmatrix} k_1 & -k_1 & 0 \\ -k_1 & k_1+k_2+k_3 & -k_3 \\ 0 & -k_3 & k_3+k_4 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} F_1 \\ 0 \\ F_3 \end{Bmatrix} $$

여기까지 최소 포텐셜 에너지의 원리가 무엇인지와

예제를 통해 운동방정식을 구하는 과정까지 알아보았습니다.

[유한요소법] 응력 - 변형률 관계(stress - strain relations)

슬기나무 — Tue, 7 Sep 2021 21:12:00 +0900

이번 포스팅에서는 응력 - 변형률 관계에 대해 알아보겠습니다.

3차원 응력 - 변형률 관계

육면체 요소가 존재한다고 가정했을 때, Hooke's law에 의하여

각 수직변형률, 전단변형률은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E}-\nu\frac{\sigma_y}{E}-\nu\frac{\sigma_z}{E}$$

$$\epsilon_y = -\nu\frac{\sigma_x}{E}+\frac{\sigma_y}{E}-\nu\frac{\sigma_z}{E}$$

$$\epsilon_z = -\nu\frac{\sigma_x}{E}-\nu\frac{\sigma_y}{E}+\frac{\sigma_z}{E}$$

$$\gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G}$$

$$\gamma_{xz} = \frac{\tau_{xz}}{G}$$

$$\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}$$

여기서 $G=\frac{E}{2(1+\nu)}$이고 $E$는 탄성계수(young's modulus)입니다.

위 변형률 식에서 수직변형률을 모두 더하여 아래와 같은 식을 도출해낼 수 있는데

$$\epsilon_x+\epsilon_y+\epsilon_z=\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)$$

응력-변형률 관계를 이용하여 $\sigma_x$에 대해 나타내면 아래와 같습니다.

$$\sigma_x = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}[(1-\nu)\epsilon_x+\nu\epsilon_y+\nu\epsilon_z$$

같은 방법으로 $\sigma_y, \sigma_z, \tau_{yz}, \tau_{xz}, \tau{xy}$에 대해 나타내어

매트릭스의 형태 $\sigma = D\epsilon$로 나타내면 아래와 같습니다.

$$\sigma = [\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{yz}, \tau_{xz}, \tau_{xy}]^T$$

$$\epsilon = [\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{xz}, \gamma_{xy}]^T$$

$$D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.5-\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5-\nu \end{bmatrix}$$

1, 2차원 응력-변형률 관계

위에서 나타낸 3차원 응력-변형률 관계는 좀 더 일반적으로 사용할 수 있지만 복잡합니다.

경우에 따라 1, 2차원으로 단순하게 표현하는 것이 알아보기도 쉽고 계산에 효율적일 때가 있죠.

그래서 1, 2차원 응력-변형률 관계에 대해서도 알아보겠습니다.

1차원 응력-변형률 관계

1차원 응력-변형률 관계는 아래와 같이 정의됩니다.

$$\sigma = E\epsilon$$

재료역학 초반부에 배우는 hooke's law 그대로의 식입니다. 쉽죠?

2차원 응력-변형률 관계

2차원 응력-변형률 관계는 두 종류로 정의할 수 있습니다.

평면 응력(plane stress) 상태

얇은 판과 같은 구조물은 두께가 거의 0에 가까워

두께 방향으로 힘을 받지 못하고 굽어지는 구조물입니다.

따라서 두께방향으로 작용하는 응력이 없다고 가정할 수 있으므로

자유도를 축소하여 2차원으로 가정할 수 있습니다.

즉, $\sigma_z=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$로 가정하는 것입니다.

그렇게 되면 hooke's law에 따라서 아래와 같은 응력-변형률 관계를 가집니다.

$$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu\frac{\sigma_y}{E}$$

$$\epsilon_y = -\nu\frac{\sigma_x}{E} + \frac{\sigma_y}{E}$$

$$\epsilon_z = -\frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y)$$

$$\gamma_{xy} = \frac{2(1+\nu)}{E}\tau_{xy}$$

위에서와 마찬가지로 $\sigma=D\epsilon$의 형태로 나타내면 아래와 같습니다.

$$\sigma = [\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}]^T$$

$$\epsilon = [\epsilon_x, \epsilon_y, \tau_{xy}]^T$$

$$D = \frac{E}{1-\nu^2}\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}$$

평면 변형률(plane strain) 상태

긴 파이프와 같이 길이 방향으로 긴 구조물의 경우에는

두께 방향 변형률을 0이라 가정할 수 있습니다.

즉, $\epsilon_z=\gamma_{zx}=\gamma_{yz}=0$으로 가정합니다.

따라서 $\sigma=D\epsilon$의 응력-변형률의 관계를 나타내면 아래와 같습니다.

$$\sigma = [\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}]^T$$

$$\epsilon = [\epsilon_x, \epsilon_y, \tau_{xy}]^T$$

$$D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}$$

여기까지 응력-변형률 관계에 대해 알아보았습니다.

[수치해석] 이분법(bisection method)

슬기나무 — Sun, 5 Sep 2021 23:04:07 +0900

이번 포스팅에서는 방정식의 근을 찾는 방법 중 하나인

이분법(bisection method)에 대해 알아보겠습니다.

(출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저)

이분법(bisection method)

이분법이란 근을 탐색하는 방법 중 하나로 탐색 구간을 항상 반으로 나눠 찾습니다.

구간을 반으로 나눠 찾는다는 점에서 이분법이라는 이름이 붙게 되었고,

구간의 양 끝점에서의 함수값을 계산하여 곱했을 때

부호가 양수이냐 음수이냐를 확인하여 근의 존재 유무를 판단합니다.

이분법(bisection method) 계산 방법

구간을 반으로 나눠 근의 존재 유무를 판단한다는 방법적인 면으로 인해

계산하는 방법은 매우 간단합니다.

1) 탐색 구간 $[x_l, x_u]$을 선정합니다.

2) 구간의 양 끝점에서의 함수 값을 계산한 후 곱하여 음수인지 양수인지 확인합니다.

만약 양수이면 근이 존재하지 않으므로 1)로 돌아가고, 음수이면 3)을 진행합니다.

구간 내 근이 존재할 조건:

$$f(x_l) f(x_u) < 0 $$

3) 추정근($x_r$)을 계산합니다. 이 때 추정근은 구간 양 끝값의 평균입니다.

$$x_r = \frac{x_l+x_u}{2}$$

4) 이전 단계에서 탐색했던 추정근 $x_r$과 이번 단계에서 계산한 추정근 $x_{r,new}$ 사이의 오차를 계산합니다.

$$E_a = \left\vert \frac{x_{r,new}-x_r}{x_{r,new}} \right\vert × 100 $$

5) 오차를 계산하여 정해진 허용오차 $E_s$와 비교하여 클 경우

$x_{r,new}$를 $x_u$ 혹은 $x_l$로 두고 2)부터 다시 진행합니다.

만약 작을 경우 탐색을 종료하고 근사해를 $x_{r,new}$로 선정합니다.

탐색을 종료할 조건:

$$E_a < E_s$$

여기까지 이분법에 대해 알아보았습니다.

[수치해석] 오일러(Euler)법

슬기나무 — Sun, 5 Sep 2021 00:09:28 +0900

이번 포스팅에서는 미분방정식을 푸는 방법 중 하나인

오일러(Euler)법에 대하여 알아봅시다.

(출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저)

오일러(Euler)법

오일러법은 초기값과 $i$번째 1차 도함수의 기울기를 이용하여

$i+1$번째 함수값을 예측하기 위한 방법입니다.

식과 그림으로 나타내자면 아래와 같습니다.

$$y_{i+1} = y_i +f(t_i,y_i)h$$

식과 그래프를 보면 알 수 있다시피

시간격 h에 대하여 선형외삽하는 방법입니다.

오일러(Euler)법의 오차 분석

오차 분석을 위해 오일러법을 유도하기 위한 Taylor급수 전개를 살펴봅시다.

$$y_{i+1}=y_i+y'_i h+\frac{y''_i}{2!}h^2+...+\frac{y^n _i}{n!}h^n$$

위에서 $y'_i=f(t_i,y_i)$로 나타내었으므로 다시 쓰면

$$y_{i+1}=y_i+f(t_i,y_i) h+\frac{f'(t_i,y_i)}{2!}h^2+...+\frac{f^{n-1}(t_i,y_i)}{n!}h^n$$

오일러법은 테일러급수의 2계 도함수 이상의 항들은 모두 소거하여 사용하지 않으므로

절단오차는 아래와 같습니다.

$$E_t = \frac{f'(t_i,y_i)}{2!}h^2+...+\frac{f^{n-1}(t_i,y_i)}{n!}h^n$$

하지만 만약 시간격 $h=t_{i+1}-t_i$가 충분히 작다면 고차항은 무시할 수 있으므로

절단오차는 아래와 같이 근사할 수 있습니다.

$$E_a = \frac{f'(t_i,y_i)}{2!}h^2=O(h^2)$$

이를 근사절단오차라 하며,

그 크기는 원함수의 2차 도함수 혹은 미분방정식의 1차 도함수에 비례하며

간격의 크기에도 비례한다는 것을 알 수 있습니다.

또한 원함수가 선형함수인 경우에는 2차 도함수가 0이므로

오차가 0이 되어 정해(exact solution)와 같아집니다.

여기까지 오일러(Euler)법에 대해 알아보았습니다.

[수치해석] 유한차분법(Finite Difference Method)

슬기나무 — Thu, 2 Sep 2021 22:52:57 +0900

이번 포스팅에서는 수치적분법 중 하나인 유한차분법에 대해 알아보겠습니다.

(출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저)

유한차분법(Finite Difference Method)

유한차분법은 미분방정식을 도함수의 근사값을 사용하여 푸는 방법으로

유한차분방정식은 전방(forward), 후방(backward), 중앙(central) 차분법 등

세가지로 나눌 수 있으며, 각 식은 Taylor 급수 전개를 통해 유도 가능합니다.

유도(derivation) 과정

Taylor 급수 전개를 통해 각 유한차분방정식을 유도해 보겠습니다.

우선 아래 그림과 같은 형태를 가지는 함수 $f(x)$가 존재한다고 가정하고,

음과 양의 방향으로 $h$만큼 떨어진 거리의 함수값을 생각해봅시다.

전방유한차분법(forward finite difference method)

$x$와 $x+h$을 중심으로하여 Taylor 급수 전개를 합니다.

$$f(x+h) = f(x) + hf'(x)+\frac{h^2}{2!}f''(x)+\frac{h^3}{3!}f'''(x)+... \tag{1}$$

여기서 $h^2$ 이후의 항을 소거하여 식을 정리하면

$$f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

따라서 도함수 $f'(x)$는 전방유한차분법에 의해 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$로 근사하여

미분방정식을 풀 수 있습니다.

이 때 근사로 인한 오차의 크기는 $O(h^2)$입니다.

후방유한차분법(backward finite difference method)

전방유한차분법과는 반대로 $x-h$와 $x$을 중심으로하여 Taylor 급수 전개를 합니다.

$$f(x-h) = f(x) - hf'(x)+\frac{h^2}{2!}f''(x)-\frac{h^3}{3!}f'''(x)+... \tag{2}$$

마찬가지로 여기서도 $h^2$ 이후의 항을 소거하여 식을 정리하면

$$f'(x) = \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$

따라서 도함수 $f'(x)$는 후방유한차분법에 의해 $\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$로 근사할 수 있습니다.

이 역시 근사로 인한 오차의 크기는 $O(h^2)$입니다.

중앙유한차분법(central finite difference method)

앞서 설명드린 두가지 방법에 비해 일반적으로 중앙유한차분법은

좀 더 정확한 방법으로 여겨집니다.

앞에서 Taylor 급수 전개했던 식 (1)과 식 (2)를 이용하여 유도할 수 있는데요.

식 (1)에서 식 (2)를 빼겠습니다. 그러면 아래와 같이 정리됩니다.

$$f(x+h)-f(x-h) = 2hf'(x)+\frac{2h^3}{3!}f'''(x)+... \tag{3}$$

$h^2$ 이후의 항을 소거하여 식을 정리하면 도함수 $f'(x)$는 아래와 같이 근사됩니다.

$$f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

여기에서 근사로 인한 오차의 크기는 $O(h^3)$입니다.

여기까지 유한차분법에 대하여 설명드렸습니다.

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슬기나무 — Mon, 30 Aug 2021 23:43:42 +0900

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슬기나무 — Mon, 30 Aug 2021 23:43:06 +0900

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[기계진동] 동흡진기(dynamic vibration absorber)

슬기나무 — Mon, 30 Aug 2021 21:45:04 +0900

이번 포스팅에서는 동흡진기(dynamic vibration absorber)에 대해 알아보겠습니다.

동흡진기(dynamic vibration absorber)

동흡진기, 줄여서 흡진기라고도 불리는 기계장치는

시스템의 원치않는 진동을 줄이거나 제거하는데에 사용되는 장치입니다.

진동으로부터 보호할 필요가 있는 시스템의 질량에 장착된 추가적인 질량과 강성으로 구성되는데요.

자유물체도로 표현하면 아래와 같습니다.

비감쇠 동흡진기 자유물체도 예시

아래에서 위 그림으로 나타낸 시스템에 대하여 응답을 분석해보겠습니다.

비감쇠 동흡진기의 예

먼저 비감쇠의 경우에 대하여 시스템의 응답을 예를 통해 알아봅시다.

위 그림의 시스템에서의 운동방정식은 아래와 같습니다.

$$m_1\ddot{x}_1 +k_1x_1+k_2(x_1-x_2)=F_0\sin\omega t \tag{1}$$

$$m_x\ddot{x}_2+k_2(x_2-x_1)=0 \tag{2}$$

해를 조화함수로 가정하면

$$x_1(t) = X_1\sin\omega t$$

$$x_2(t) = X_2\sin\omega t$$

가정된 해를 식 (1)과 식 (2)에 대입하여 진폭 $X_i (i=1,2)$를 구하면 아래와 같습니다.

$$X_1 = \frac{(k_2-m_2\omega^2)F_0}{(k_1+k_2-m_1\omega^2)(k_2-m_2\omega^2)-k} \tag{3}$$

$$X_2 = \frac{k_2F_0}{(k_1+k_2-m_1\omega^2)(k_2-m_2\omega^2)-k} \tag{4}$$

우리의 목적은 공진점 부근에서 $X_1$을 감소시키는 것입니다.

진폭을 0으로 만들기 위해서는 식 (3)의 분자가 0이 되어야 하므로

$$k_2-m_2\omega^2 = 0$$

$$\Rightarrow \omega^2 = \frac{k_2}{m_2}$$

인 점을 알 수 있습니다.

따라서 질량 $m_1$인 시스템이 공진점 부근($\omega_1^2 = \frac{k_1}{m_1}$)에서 운전하고 있고,

그 진동을 줄이고자 한다면 흡진기를 아래 조건

$$\omega^2 = \frac{k_2}{m_2}=\frac{k_1}{m_1}$$

이 되도록 설계하여 공진주파수 부근에서의 진동을 줄일 수 있습니다.

식 (3), 식 (4)를 진폭비에 대하여 나타내면 아래와 같은 방식으로도 표현가능합니다.

$$\frac{X_1}{\delta_{st}}=\frac{1-(\frac{\omega}{\omega_2})^2}{[1+\frac{k_2}{k_1}-(\frac{\omega}{\omega_1})^2][1-(\frac{\omega}{\omega_2})^2]-\frac{k_2}{k_1}} \tag{5}$$

$$\frac{X_1}{\delta_{st}}=\frac{1}{[1+\frac{k_2}{k_1}-(\frac{\omega}{\omega_1})^2][1-(\frac{\omega}{\omega_2})^2]-\frac{k_2}{k_1}} \tag{6}$$

감쇠기를 가진 동흡진기

비감쇠 동흡진기에서는 흡진기의 질량이 장착됨에 따라

새로운 공진점에 발생하여 총 두개의 공진점에 생기게 됩니다.

따라서 기계가 시동되는 과정에서 첫번째 공진 점을 통과할 때 큰 진폭이 발생할 수 있습니다.

이 진동을 감소시킬 필요가 있을 경우 감쇠기를 가진 동흡진기를 사용하게 됩니다.

감쇠기를 가진 동흡진기 자유물체도 예시

위 시스템의 응답에 대해서도 분석해봅시다.

두 질량에 대한 운동방정식은 아래와 같습니다.

$$m_1\ddot{x}_1+k_1x_1+k_2(x_1-x_2)+c_2(\dot{x}_1-\dot{x}_2)=F_0\sin\omega t \tag{7}$$

$$m_2\ddot{x}_2+k_2(x_2-x_1)+c_2(\dot{x}_2-\dot{x}_1)=0 \tag{8}$$

식 (7), 식(8)의 해를 아래와 같은 형태로 가정합니다.

$$x_j(t) = X_j e^{i\omega t}, j=1,2$$

가정된 해를 식 (7), (8)에 대입하여 진폭 $X_j$를 구하면 아래와 같습니다.

$$X_1 = \frac{F_0(k_2-m_2\omega^2+ic_2\omega)}{[(k_1-m_1\omega^2)(k_2-m_2\omega^2)-m_2k_2\omega^2]+i\omega c_2(k_1-m_1\omega^2-m_2\omega^2)}$$

$$X_2 = \frac{X_1(k_2+i\omega c_2)}{(k_2-m_2\omega^2+i\omega c_2)}$$

여기서 우리의 목적은 $X_1$의 크기를 줄이는 것입니다.

이 부분은 아직 이해가 부족하여 설명할 실력이 안되네요...

좀 더 공부가 되면 후에 풀이하도록 하겠습니다.

여기까지 동흡진기에 대해 알아보았습니다.

[기계진동] 조화력(harmonic force)을 받는 감쇠계의 응답

슬기나무 — Sun, 29 Aug 2021 20:28:32 +0900

이번 포스팅에서는 조화력을 받는 감쇠계의 응답에 대해 알아보겠습니다.

조화력을 받는 감쇠계의 응답

조화력이 무엇인지는 비감쇠계의 응답 부분에서 설명하였으니 넘어가도록 하고,

바로 시스템의 응답에 대해 알아보겠습니다.

조화력 $F(t) = F_0\cos \omega t$가 가해질 때 질량 $m$의 감쇠계 운동방정식은 아래와 같습니다.

$$m\ddot{x} + c\dot{x}+kx = F_0\cos \omega t \tag{1}$$

식 (1)의 particular solution 또한 조화함수의 형태일 것이므로 해를 아래와 같이 가정합니다.

$$x_p (t) = X\cos (\omega t-\phi) \tag{2}$$

이 때 $X$와 $\phi$는 각각 응답의 진폭과 위상각을 나타냅니다.

가정된 해인 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 정리하면 아래와 같습니다.

$$X[(k-m\omega^2)\cos(\omega t-\phi)-c\omega\sin(\omega t-\phi)]=F_0\cos\omega t \tag{3}$$

대입하여 얻어진 식 (3)에서 아래 관계를 이용하여

$$\cos(\omega t-\phi)=\cos\omega t\cos\phi +\sin\omega t \sin\phi$$

$$\sin(\omega t-\phi) = \sin\omega t\cos \phi-\cos \omega t\sin \phi$$

식 (3)에 대입하여 $\cos\omega t$와 $\sin\omega t$의 계수를 같다고 놓으면

아래 두 식을 얻을 수 있습니다.

$$X[(k-m\omega^2)\cos\phi+c\omega\sin\phi]=F_0 \tag{4}$$

$$X[(k-m\omega^2)\sin\phi-c\omega\cos\phi]=0 \tag{5}$$

식 (4)에서

$$X = \frac{F_0}{[(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2]^{1/2}}$$

식 (5)에서

$$\phi = \tan^{-1}(\frac{c\omega}{k-m\omega^2})$$

을 각각 구할 수 있습니다.

이제 진폭비(amplitude ratio)와 위상각 $\phi$를 나타낼 수 있습니다.

진폭 $X$의 식을 하중 $F_0$하에서의 정적처짐 $\delta_{st}$로 나눈 값이 진폭비(amplitude ratio)이며

$$\frac{X}{\delta_{st}} = \frac{k}{[(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2]^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}$$

위상각 $\phi$는

$$\phi = \tan^{-1}(\frac{2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2})=\tan^{-1}(\frac{2\zeta r}{1-r^2})$$

여기서

$$\omega_n = \sqrt{k/m}$$

$$\zeta = \frac{c}{c_c}=\frac{c}{2m\omega_n}=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$

$$\delta_{st} = \frac{F_0}{k}$$

$$r = \frac{\omega}{\omega_n}$$

입니다.

아래 그림은 진동수 비 $r$에 대한 amplitude ratio의 변화 그래프입니다.

진동수 비 $r$에 대한 amplitude ratio

비감쇠($\zeta=0$)의 경우 진동수 비가 1에 가까워 질 수록 그 크기는 무한대로 발산하며,

$\zeta$가 커지면 커질 수록 그 응답의 크기는 감소하는 경향을 보입니다.

아래 code는 위 그래프를 그리기 위한 python code입니다.

허접하지만 도움이 되셨으면 합니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

zeta = np.arange(0, 5, 5/51)
r = np.arange(0, 5, 5/51)

plt.figure()
for i in zeta:
    ampRatio = 1/np.sqrt((1-r**2)**2+(2*i*r)**2)
    plt.plot(r, ampRatio, 'b')

plt.xlim([0, 5])
plt.ylim([0, 5])
plt.grid()
plt.title('amplitude ratio')
plt.xlabel('r($\omega / \omega_n$)')
plt.ylabel('Amplitude ratio($X/\delta_{st}$)')
plt.show()

여기까지 조화력을 받는 감쇠계의 응답에 대해 알아보았습니다.

[기계진동] 조화력(harmonic force)을 받는 비감쇠계의 응답

슬기나무 — Sat, 28 Aug 2021 23:20:23 +0900

이번 포스팅에서는 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보겠습니다.

조화운동(harmonic motion)이란?

조화력을 받는 계의 응답을 알아보기 전에 조화운동이 무엇인지부터 알아봅시다.

조화운동(harmonic motion)이란,

물체의 운동을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때 그 함수가 삼각함수(sin, cos)의 형태로

나타내어질 수 있을 때의 운동을 말합니다.

위와 유사하게 조화력은 아래와 같이 힘을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때

삼각함수의 형태로 표현할 수 있는 힘을 말합니다. 즉 아래와 같은 형태가 됩니다.

$$F(t) = F_0 \cos \omega t$$

조화력(harmonic force)을 받는 비감쇠계의 응답

조화력을 받는 비감쇠계에 대해 알아보겠습니다.

위에서 조화력에 대해 알아본 바 있으므로, 조화력을 받는 질량 $m$의

비감쇠계에 대한 운동방정식은 아래와 같습니다.

$$m\ddot{x}+kx = F_0 \cos \omega t \tag{1}$$

위 운동방정식의 homogeneous solution $x_h (t)$은 아래와 같은 형태가 됩니다.

$$x_h (t) = C_1 \cos \omega_n t+C_2 \sin \omega_n t \tag{2}$$

여기서 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 입니다.

조화력이 작용하므로 particular solution $x_p (t)$ 또한 조화력과 같은 진동수 $\omega$를 가지며

아래와 같은 해의 형태를 가집니다.

$$x_p (t) = X\cos \omega t \tag{3}$$

여기서 $X$는 $x_p (t)$의 최대 진폭을 나타냅니다.

식 (3)을 식 (1)에 대입하여 진폭 $X$에 관하여 정리하면 아래와 같습니다.

$$X=\frac{F_0}{k-m\omega^2}=\frac{\delta_{st}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}$$

이 때 $\delta_{st} = \frac{F_0}{k}$, 즉 힘 $F_0$을 받을 때 정적 처짐을 나타냅니다.

homogeneous solution과 particular solution을 모두 구했으니

운동방정식의 해 $x(t)$는 두 해 $x_h (t)$, $x_p (t)$를 합한 것입니다.

$$x(t) = C_1 \cos \omega_n t+C_2 \sin \omega_n t + \frac{F_0}{k-m\omega^2}\cos \omega t \tag{4}$$

운동방정식의 초기조건 $x(0) = x_0$, $\dot{x}(0)=\dot{x_0}$을 사용하면

계수 $C_1, C_2$를 구할 수 있습니다.

$$C_1 = x_0-\frac{F_0}{k-m\omega^2}$$

$$C_2 = \frac{\dot{x_0}}{\omega_n}$$

이를 식 (4)에 대입하여 정리하면 최종 운동방정식의 해는 아래와 같습니다.

$$\therefore x(t) = (x_0-\frac{F_0}{k-m\omega^2})\cos \omega_n t+(\frac{\dot{x_0}}{\omega_n})\sin \omega_n t+\frac{F_0}{k-m\omega^2}\cos \omega t$$

앞서 구했던 최대진폭에 대한 식을 활용하여 아래와 같이 나타내어 봅시다.

$$\frac{X}{\delta_{st}}=\frac{1}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2} \tag{5)$$

$X/\delta_{st}$는 이 시스템의 동적 진폭과 정적진폭에 대한 비를 나타내며

확대율(magnification factor), 증폭률(amplification factor) 혹은 진폭비(amplitude ratio)로 불립니다.

이 비(ratio)는 $\omega/\omega_n$의 크기에 따라 다르게 분석할 수 있는데요.

진동수비 $r$에 따른 amplitude ratio

Case 1. $0 < \omega/\omega_n < 1$

식 (5)의 분모는 양이고 계의 응답 또한 위 그래프에서 알 수 있듯 양의 무한대로 다가갑니다.

입력과 응답의 부호가 같기 때문에 동위상을 같습니다.

Case 2. $\omega/\omega_n > 1$

식 (5)의 분모가 음이 되며, 계의 응답이 -$\infty$에서 0에 수렴해가는 모습을 보입니다.

따라서 매우 높은 진동수의 조화력($\omega \Lefttarrow 1$)의 경우 응답이 0에 수렴합니다.

이 경우 입력과 응답의 부호가 다르기 때문에 180˚의 위상차를 갖습니다.

Case 3. $\omega/\omega_n=1$

식 (5)에 의해 분모가 0이 되어 이론적으로는 진폭 $X$가 무한대가 됩니다.

이러한 경우를 공진이라고 합니다.

여기까지 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보았습니다.

[기계진동] 대수 감소율(logarithmic decrement)

슬기나무 — Wed, 25 Aug 2021 15:36:11 +0900

이번 포스팅에서는 대수 감소율에 대해 알아보겠습니다.

대수 감소율(logarithmic decrement) 구하는 법

대수감소율은 감쇠 자유진동의 진폭이 감소하는 정도를 나타내는 값으로,

연속하는 두 진폭의 비에 자연로그를 취한 값으로 정의됩니다.

우리는 감쇠진동에 대한 응답 $x(t)=X_0 e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t+\phi_0)$를 알고 있기 때문에

$x_1, x_2$를 구할 수 있습니다. 이를 이용하여 진폭비를 구하면

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{X_0 e^{-\zeta\omega_n t_1}\cos(\omega_d t_1 -\phi_0)}{X_0 e^{-\zeta\omega_n t_2}\cos(\omega_d t_2 -\phi_0)} \tag{1}$$

이 때, $t_2 = t_1 + 2\pi/\omega_d$이기 때문에

$$\cos(\omega_d t_2 -\phi_0)=\cos(2\pi+\omega_d t_1 -\phi_0)=\cos(\omega_d t_1 -\phi_0)$$

따라서 식 (1)은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{e^{-\zeta\omega_n t_1}}{e^{-\zeta\omega_n(t_1+2\pi/\omega_d)}} \tag{2}$$

대수감소율 $delta$은 식 (2)에 자연로그를 취하여 구할 수 있습니다.

$$\delta = \ln{\frac{x_1}{x_2}}=\zeta\omega_n 2\pi/\omega_d=\zeta\omega_n \frac{2\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n}=\frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}=frac{2\pi c}{\omega_d 2m} \tag{3}$$

$$\therefore \delta = \frac{2\pi c}{2m\omega_d}$$

감쇠가 작을 때$(\zeta << 1)$ 대수감소율 $delta$는 아래와 같이 근사할 수 있습니다.

$$\delta \simeq 2\pi\zeta$$

여기까지 대수감소율에 대해 알아보았습니다.

[기계진동] 스프링-질량계의 운동방정식과 응답

슬기나무 — Tue, 24 Aug 2021 20:31:41 +0900

이번 포스팅에서는 스프링-질량계의 운동방정식과 그 응답에 대하여 알아봅시다.

비감쇠 스프링-질량계

비감쇠 스프링-질량계의 운동방정식은 아래와 같습니다.

$$m\ddot{x}+kx=0 \tag{1}$$

위 식의 해는

$$x(t) = Ce^{st} \tag{2}$$

입니다. 미분방정식의 homogeneous solution을 구하는 방법은

아래에 설명하였으니 참고하세요.

[공업수학]상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 제차해(Homogeneous solution) - (1)

이번 포스팅에서는 상미분방정식의 해 중 제차해(homogeneous solution)에 대해 설명드리겠습니다. 제차해(homogeneous solution) Homogeneous solution은 상미분방정식의 우변이 0일 때의 해를 구한 것입니다...

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식 (2)를 식 (1)에 대입하면

$$C(ms^2+k)=0$$

$$ms^2+k=0$$

$$\therefore s=\pm(\sqrt{-k/m})^{1/2}=\pm i\omega_n$$

따라서 식 (1)의 일반해는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$x(t)=C_1 e^{i\omega_n t}+C_2 e^{-i \omega_n t} \tag{3}$$

여기서 아래 euler equation을 통해

$$e^{\pm i\alpha t} = \cos \alpha t \pm i \sin \alpha t$$

식 (3)을 고쳐쓰면 아래와 같습니다.

$$x(t) = A_1 \cos \omega_n t + A_2 \sin \omega_n t$$

이 때, 변위 및 속도의 초기값이 각각 $x(t=0) = A_1 = x_0, \dot{x(t=0)}=\omega_n A_2 = \dot{x}_0$라 하면

식 (1)은 최종적으로 아래와 같습니다.

$$x(t) = x_0 \cos \omega_n t+\frac{\dot{x}_0}{\omega_n}\sin \omega_n t$$

점성감쇠 스프링-질량계

점성감쇠 스프링-질량계에 대하여 운동방정식은

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx = 0 \tag{1}$$

비감쇠의 경우와 유사하게 위 식의 특성방정식은

$$ms^2+cs+k=0$$

위 식의 두 근은 아래와 같습니다.

$$s_{1,2} = \frac{-c\pm\sqrt{c^2-4mk}}{2m}=-\frac{c}{2m}\pm\sqrt{(\frac{c}{2m})^2-\frac{k}{m}}$$

위 근을 대입하여 식(1)의 일반해를 구하면 아래와 같습니다.

$$x(t) = C_1 e^{s_1 t} + C_2 e^{s_2 t}$$

$$=C_1 e^{(-\frac{c}{2m}+\sqrt{(\frac{c}{2m})^2-\frac{k}{m}})t}+C_2 e^{(-\frac{c}{2m}-\sqrt{(\frac{c}{2m})^2-\frac{k}{m}})t} \tag{2}$$

위 식을 임계감쇠상수 $c_c$를 이용하여 식을 정리해봅시다.

$c_c$는 특성방정식 근의 근호 안을 0으로 만드는 감쇠상수 $c$값으로 정의됩니다. 즉,

$$(\frac{c_c}{2m})^2-\frac{k}{m}=0$$

따라서

$$c_c = 2m\sqrt{\frac{k}{m}}=2\sqrt{km}=2m\omega_n$$

그리고 이를 이용하여 감쇠비 $\zeta$를 정의합니다.

$$\zeta = c/c_c$$

이를 이용하여 식 (2)를 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$=C_1 e^{(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n t}+C_2 e^{(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n t} \tag{3}$$

계수 $C_1, C_2$는 특성방정식의 근의 종류에 따라 아래와 같이 다르게 계산되어

해의 형태가 달리 나타납니다.

1. 서로다른 두개의 근을 갖는지, (underdamped system)

$$\Rightarrow x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left\{x_0 \cos \sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t + \frac{\dot{x}_0+\zeta\omega_n x_0}{\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n}\sin\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t \right\} $$

2. 중근을 갖는지, (critically damped system)

$$\Rightarrow x(t) = \left\{x_0+(\dot{x}_0+\omega_n x_0)t\right\}e^{-\omega_n t}$$

3. 허근을 갖는지, (overdamped system)

$$\Rightarrow x(t) = C_1 e^{\left\{-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right\}\omega_n t} + C_2 e^{\left\{-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right\}\omega_n t}$$

여기서

$$C_1 = \frac{x_0 \omega_n (\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})+\dot{x}_0}{2\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}}$$

$$C_2 = \frac{-x_0 \omega_n (\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})-\dot{x}_0}{2\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}}$$

여기까지 비감쇠 & 감쇠 진동에 대한 운동방정식의 응답에 대해 알아보았습니다.

[제어공학] 제어시스템의 안정도

슬기나무 — Thu, 19 Aug 2021 20:44:59 +0900

이번 포스팅에서는 제어시스템의 안정도에 대해 알아보겠습니다.

안정도 조사법

'시스템이 안정하다'라는 말은, 시스템이 한정된 응답을 가질 때를 말합니다.

즉, 한정된 입력이 가해졌을 때 그 응답의 크기가 한정되는 상황을 말합니다.

선형시스템의 경우 시스템의 특성방정식의 근을 조사하여

시스템이 안정한지 불안정한지를 판단할 수 있습니다.

특성방정식을 이용한 안정도 판별법

아래와 같은 전달함수 $G(s)$에 대하여 생각해봅시다.

$$G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}$$

위 전달함수의 특성방정식의 근 $p_i$ $(i=1,2,...,n)$이 시스템의 안정도를 결정합니다.

위 시스템에 단위스텝입력을 가했을 때 출력 $y(s)$를 생각해보면

$$y(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{s(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)} \tag{1}$$

출력에 관한 식을 부분분수로 전개하면 아래와 같습니다.

$$y(s) = \frac{c_0}{s} + \frac{c_1}{s-p_1}+ \frac{c_2}{s-p_2} + ... + \frac{c_n}{s-p_n} \tag{2}$$

위 식을 역라플라스변환하면 출력 $y(t)$는 아래와 같습니다.

$$y(t) = [c_0+c_1 e^{p_1 t}+c_2 e^{p_2 t} + ... + c_n e^{p_n t}] u_s (t) \tag{3}$$

식 (3)에서 exponential의 지수인 특성방정식의 근 $p_i$가 음수이면 $c_0$를 제외한

모든 항은 시간이 지남에 따라 0에 수렴하므로 정상상태응답은 $c_0$입니다.

반대로 특성방정식의 근 $p_i$가 양수이면 출력 $y(t)$는 발산하게 됩니다.

따라서, 극점의 실수부가 어느 하나라도 양의 값을 가지게 된다면,

출력응답은 발산하게 되어 시스템은 불안정하게 됩니다.

그리고 0인 극점을 가지게 되면 출력응답은 지속진동을 하게되는데,

이러한 상태를 안정한계(marginally stable)에 있다고 합니다.

결론적으로, 시스템이 안정하기 위해서는 특성방정식의 근인 시스템의 극점의

실수부가 모두 0보다 작거나 같아야 합니다. 즉,

$$Re(p_i)\leq 0, i=1,2,...n$$

Routh 안정도 판별법

Routh 안정도 판별법은 위에서와 같이 특성방정식의 근을 모두 구하진 않고,

양의 실수부를 갖는 근의 존재유무만을 판별하여 시스템의 안정도를 판별합니다.

우선, Routh 안정도 판별법은 시스템이 안정하기 위한 필요조건인

특성방정식의 모든 계수가 같은 부호인지를 조사합니다.

만약 부호가 다르다면, 극점이 복소 $s$-평면의 우측에 존재하게되어

시스템이 불안정하게 됩니다.

Routh 안정도 판별법은 아래와 같이 수행합니다.

1. 특성방정식의 계수를 아래와 같이 1,2행에 나열합니다.

2. 특성방정식의 계수를 이용하여 아래의 계수들을 계산하여 3행에 나열합니다.

3. 2행과 3행으로부터 아래의 계수들을 다시 계산하여 4행에 나열합니다.

이를 반복하여 n+1행까지 계산하여 Routh 배열을 만듭니다.

→

4. Routh 배열의 첫번째 열에서 모든 계수가 같은 부호이면 시스템은 안정합니다.

예제를 통해 알아보죠. 아래와 같은 특성방정식이 있습니다.

$$s^4+2s^3+3s^2+8s+2=0$$

위 특성방정식의 Routh 배열은 아래와 같습니다.

위 Routh 배열의 첫번째 열에서 부호의 변화가 두번(2 -> -1 -> 12) 있으므로,

이 시스템은 두개의 양의 실수부를 갖게 되어 불안정한 성능을 가집니다.

여기까지 시스템의 안정도 판별법에 대해 알아보았습니다.

[제어공학] 시스템의 정상상태응답(steady-state response)

슬기나무 — Wed, 18 Aug 2021 21:21:11 +0900

본 포스팅에서는 시스템의 정상상태응답에 대해 알아보겠습니다.

정상상태응답(steady-state response)이란?

정상상태응답이란 시스템이 안정되어 그 응답이 일정한 값을 유지하는 상태의 응답을 말합니다.

앞서 과도응답상태에 대해 다룬 포스팅에서 정착시간 $t_s$ 이후의 응답을 의미합니다.

정상상태응답 해석

정상상태응답을 해석하기 위해서는 우선 기준입력에 대한 오차를 고려해야 합니다.

오차를 구할 수 있다면 기준입력으로부터 정상상태응답 또한 계산할 수 있죠.

또한 정상상태에서 오차가 크면 시스템의 성능이 만족스럽다고 할 수 없기 때문에

정상상태오차를 분석하는 것이 필요합니다.

아래와 같은 폐루프 시스템에 대하여 정상상태오차를 계산해봅시다.

전달함수 $G(s)$인 폐루프 시스템

위 폐루프 시스템의 오차신호 $e(s)$는 아래와 같이 계산됩니다.

$$e(s) = r(s)-y(s) = \frac{1}{1+G(s)}r(s)$$

그리고 이 값은 라플라스변환을 다룬 포스팅에서 설명했듯이 최종값 정리에 의해

[공업수학] 라플라스 변환(Laplace transformation)

이번 포스팅에서는 라플라스 변환(Laplace transformation)에 대해 알아보겠습니다. 라플라스 변환(Laplace transformation)이란? 라플라스 변환은 선형 상미분방정식(Linear ordinary differential equation)의..

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아래와 같이 계산할 수 있습니다.

$$e_{ss} = \lim_{t \rightarrow \infty}e(t) = \lim_{s \rightarrow 0}se(s)=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{sr(s)}{1+G(s)}$$

입력에 따른 정상상태 오차

1. 단위스텝입력

단위 스텝입력 $r(t) = 1, r(s)=1/s$에 대한 폐루프 제어시스템의 정상상태오차는 아래와 같습니다.

$$e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{s(1/s)}{1+G(s)}=\frac{1}{1+G(0)}$$

$$\therefore e_{ss} = \frac{1}{1+G(0)}$$

2. 단위램프입력

단위 램프입력 $r(t)=t, r(s)=1/s^2$에 대한 정상상태 오차는 아래와 같습니다.

$$e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{s(1/s^2)}{1+G(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{sG(s)}$$

$$\therefore e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{sG(s)}$$

3. 단위가속도입력

마지막으로 단위 가속도입력 $r(t)=t^2/2, r(S)=1/s^3$에 대한 정상상태 오차는 아래와 같이 계산됩니다.

$$e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{s(1/s^3)}{1+G(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{s^2G(s)}$$

$$\therefore e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{s^2G(s)}$$

여기까지 정상상태응답에 대해 알아보았습니다.

하다보니 오차에 대한 내용만 다루었는데, 오차를 알면

응답까지 계산할 수 있기 때문에 오차에 대한 분석은 매우 중요합니다.

[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response) - 2차 시스템

슬기나무 — Tue, 17 Aug 2021 21:59:14 +0900

이번 포스팅에서는 지난 포스팅에 이어 2차 시스템의 과도응답에 대해 알아보겠습니다.

2차 시스템의 전달함수 $G(s)$

다음과 같은 전달함수 $G(s)$로 표현되는 2차 시스템에 대해 생각해봅시다.

$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega^2}$$

이 때 $\zeta$는 감쇠비(damping ratio), $\omega_n$는 고유주파수(natural frequency)입니다.

단위스텝입력에 대한 2차 시스템의 응답

여기에 단위스텝입력 $u(s) = 1/s$를 가했을 때 시스템의 출력 $y(s)$는

$$ y(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega^2)}$$

라플라스 변환표를 활용하여 위 출력 $y(s)$를 역라플라스변환하면

[공업수학] 라플라스 변환(Laplace transformation)

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$$y(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin (\omega_d t+\theta) \tag{1}$$

이 때 $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$, $\theta = \cos ^{-1}\zeta$ 입니다.

1. 최대값 시간 $t_p$

식 (1)을 활용하여 최대값 시간을 구할 수 있습니다.

최대값 시간은 위 출력함수의 기울기가 0이되는 시간 $t_p$를 구하면 되므로,

$$\frac{dy}{dt}_{t=t_p}=\frac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{\zeta\omega_n t_p}\sin \omega_d t_p = 0$$

즉, $\sin \omega_d t_p=0$일 때 이므로 $\omega_d t_p = n\pi$일 때 해를 갖습니다. 즉,

$$t_p = \frac{n\pi}{\omega_d}$$

이 때, 최대값 시간 $t_p$는 첫 번째 오버슈트 시간이므로

$$\therefore t_p = \frac{pi}{\omega_d}$$

이 떄의 응답인 최대값 $y_p$는

$$y_p = 1+e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}$$

2. 상승시간 $t_r$

식 (1)의 값이 최초로 1이 되는 시간이 상승시간 $t_r$입니다. 즉,

$$y(t_r) = 1-\frac{e^{-\zeta\omega_n t_r}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \theta) = 1$$

해가 존재하기 위해선 $\sin(\omega_d t_r + \theta)=0$이어야 하므로

$$\omega_d t_r+\theta = \pi$$

$$\therefore t_r = \frac{\pi - \theta}{\omega_d}$$

3. 정착시간 $t_s$

exponential의 지수를 -1로 만드는 시정수 $T=1/\zeta\omega_n$으로부터

정착시간을 구할 수 있습니다.

2차 시스템에서도 정착시간 $t_s$는 1차시스템과 유사하게

감쇠비 $\zeta$값에 거의 무관하게 시정수의 약 4배가 정착시간이 됩니다.

(2% 정착시간 기준)

$$t_s = 4T = \frac{4}{\zeta\omega_n}$$

4. 오버슈트, 지연시간 등

1차 시스템에서 구했던 방법과 같은 방법으로 쉽게 구할 수 있기 때문에

따로 설명하진 않겠습니다.

이에 대한 방법이 궁금하시다면 이전 포스팅을 참고하세요!

[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response)

이번 포스팅에서는 시스템의 과도응답에 대해 알아보겠습니다. 과도응답(transient response) 과도응답이란 출력이 정상상태(steady state)가 되기전까지 걸리는 시간에 나타나는 응답을 말합니다. 과

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여기까지 2차시스템의 응답을 구하는 방법과

그를 해석하기 위한 각 용어들에 대해 알아보았습니다.

[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response) - 1차 시스템

슬기나무 — Mon, 16 Aug 2021 17:18:52 +0900

이번 포스팅에서는 시스템의 과도응답에 대해 알아보겠습니다.

과도응답(transient response)

과도응답이란 출력이 정상상태(steady state)가 되기전까지 걸리는 시간에 나타나는 응답을 말합니다.

과도응답이 나타나는 중에는 일반적으로 출력신호가 파형을 그리며 변하게 되죠.

만약 시스템이 안정하다면 특정 입력신호에 대한 시간응답을 가지고

시스템의 성능을 평가할 수 있는데요.

일반적으로

- 임펄스함수(impulse function)

- 스텝함수 (step function)

- 램프함수 (ramp function)

등에 대한 응답을 분석함으로써 시스템의 성능을 평가합니다.

본 포스팅에서는 스텝함수의 입력에 대한 응답을 아래에서 좀 더 세밀히 다뤄보겠습니다.

임펄스(impulse) 입력에 의한 시스템의 응답

아래와 같은 함수를 정의합니다.

$$f_\epsilon(t) = \begin{cases}1/\epsilon & 0\leq t \leq \epsilon\\0 & t>\epsilon\end{cases}$$

여기서 $\epsilon$이 0으로 접근할 때의 함수를 단위임펄스 함수 $\delta (t)$라 하며,

단위임펄스 함수는 아래와 같은 성질을 가지고 있습니다.

$$\int_0^\infty \delta (\tau) d\tau = 1$$

$$\int_0^\infty \delta (t-\tau)g(\tau)d\tau = \int_0^infty g(t-\tau)\delta(\tau)d\tau = g(t)$$

시스템의 입력에 대한 출력에 대해서 위와 같은 성질을 이용하여 나타낼 수 있는데요.

시스템의 출력 $y(s) = G(s)u(s)$이므로, 출력 $y(t)는

$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d\tau$$

이 때, 입력 $u(t)$가 단위 임펄스 함수이므로,

$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)\delta(\tau)d\tau = g(t)$$

즉, 시스템 $G(s)$에 대한 단위 임펄스응답은 곧 $y(s)$가 됩니다.

스텝입력(step function)에 의한 시스템의 응답

스텝입력에 대한 시스템의 응답은 시스템의 시간역 성능을 평가하기 위해

가장 많이 사용되고 있기 때문에 잘 알아둘 필요가 있습니다.

아이패드로 그려서 깔끔하지 못한 점... 양해부탁드려요 (__)

시간역 성능을 나타낼 때에 필요한 내용을 위 그림에 담았습니다.

1. 최대값시간 $t_p$

- 시간응답이 최대값 $y_p$까지 도달하는 시간을 말합니다.

2. 지연시간 $t_d$

- 정상상태응답 $y_ss$의 50%에 도달하는데 까지 걸린 시간을 말합니다.

3. 상승시간 $t_r$

- underdamped system의 경우 응답이 $y_ss$의 0%에서 100%까지 도달하는 시간을 말하지만,

overdamped system에서는 $y_ss$의 10%에서 90%까지 도달하는 시간을 말합니다.

4. 정착시간 $t_s$

- 출력의 크기가 정상상태 응답 $y_ss$에 수렴하기 시작하는 값을 말합니다.

마진을 $\delta$로 표시하였으며, 일반적으로 사용되는 값은 2%입니다.

5. 최대 오버슈트 $M_p$, 퍼센트 오버슈트 $P.O.$

- 최대 오버슈트는 시간응답의 최대값 $y_p$에서 정상상태응답 $y_ss$를 뺀 값을 말합니다.

- 최대 오버슈트를 정상상태 응답으로 나눠 백분율로 나타낸 값을 퍼센트 오버슈트라고 합니다.

$$P.O. = \frac{y_p-y_ss}{y_ss}\times 100 (%)$$

6. 시정수($T$, time constant)

시스템의 과도응답 성능을 나타내는 사양 중 가장 중요한 것이 시정수(time constant)입니다.

정의는 1차 시스템의 응답이 정상상태 응답의 63.2%에 도달하는 시간을 말합니다.

이게 무슨 말인지, 왜 63.2%인지도 잘 모르시겠다구요?

시정수를 설명하기 위하여 단순한 아래와 같은 전달함수 $G(s)$를 가지는

1차시스템을 예로 들어봅시다.

$$G(s) = \frac{1}{Ts+1} \tag{1}$$

위 시스템에 단위스텝입력 $u(s) = \frac{1}{s}$를 가했을때의 응답은 아래와 같습니다.

$$y(s) = \frac{1}{s(Ts+1)} \tag{2}$$

그리고 위 응답을 역라플라스 변환하여 시간역 응답을 나타내면 아래와 같습니다.

$$y(t) = 1-e^{-t/T} \tag{3}$$

식 (3)의 시간응답은 $e^{t/T}$에 의해 감소하는 경향을 나타냅니다.

즉 시정수 $T$에 의해 시스템이 감쇠되며 시정수 $T$값이 클수록

과도응답이 감쇠하는 정도는 작아집니다.

여기서 1차 시스템이 가지는 중요한 특징이 있습니다.

시간 $t=T$일 때, 출력 $y(t)$가 최종값 $y(\infty)$의 63.2%가 된다는 것입니다.

즉,

$$y(T) = 1-e^{-1} \tag{4}$$

또 하나의 특징은 $t=0$에서 접선의 기울기가 $1/T$가 되는 것입니다.

$$\frac{dy}{dt}_{t=0} = \frac{1}{T}e^{-t/T} _{t=0} = \frac{1}{T} \tag{5}$$

그리고 $t=2T, 3T, 4T$와 같이 시간이 지남에 따라 응답이 $y(\infty)$의

86.5%, 95%, 98.2%에 도달하게 됩니다. (식(4)를 통해 계산할 수 있습니다.)

여기서 또 하나의 중요한 사실.

$t\geq 4T$이면 응답이 정상상태 응답 $y_{ss}$의 98%를 넘어서므로,

$4T = t_s$가 됩니다.

매우 중요한 사실이니 암기해두면 좋습니다!!

시스템의 과도응답을 설명하다보니 1차시스템의 예시까지는 들었는데,

내용이 너무 길어졌네요. 다음 포스팅에서 2차 시스템의 예시를 알아봅시다.

[제어공학] 전달함수(transfer function)의 영점(zero)과 극점(pole)

슬기나무 — Sun, 15 Aug 2021 14:04:44 +0900

이번 포스팅에서는 전달함수의 영점과 극점에 대해 알아보겠습니다.

전달함수(transfer function)란?

전달함수는 선형 시불변(linear time-invariant) 시스템을

주파수역에서 해석할 수 있도록 시스템의 입력과 출력 사이의 동특성을

식으로 나타내어 만든 것입니다.

아래와 같이 전달함수 $G(s)$는

입력 $u(t)$와 출력 $y(t)$의 라플라스 변환으로 나타낼 수 있습니다.

$$G(s) = \frac{y(s)}{u(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}$$

여기서 전달함수는 시스템의 모든 초기조건이 0이라고 가정합니다.

(입력에 의한 출력의 영향을 보기 위한 시스템이기 때문)

영점(zero)와 극점(pole)

전달함수 $G(s)$에서 분모의 다항식 $D(s)$를 특성다항식이라 하고,

특성다항식을 0으로 둔 식 $D(s)=0$을 특성방정식이라고 합니다.

그리고 특성방정식의 해를 이 시스템의 극점(pole)이라고 합니다.

극점은 시스템의 성능과 안정성에 영향을 줍니다.

그리고 분자다항식 $N(s)$를 영점다항식이라 하고,

영점다항식을 0으로 둔 식$N(s)=0$을 영점방정식이라 하며,

영점방정식의 해를 시스템의 영점(zero)라 합니다.

영점은 시스템의 상대안정성과 과도응답에 영향을 줍니다.

시스템의 영점과 극점이 같아 서로 상쇄되지 않는다면

특성방정식의 최고 차수는 시스템의 차수가 되며, 시스템 내에 있는

독립된 에너지 저장요소($m, I$ 등)의 개수와 같습니다.

영점과 극점을 이용해 전달함수를 복소 s-평면에 표기하여 봅시다.

$$G(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}$$

아래 전달함수가 영점과 극점을 각각 가질 때, 이를 복소 s평면에 표기하면 아래와 같습니다.

전달함수 $G(s)$의 복소 s-평면 표기

복소 s-평면에서 영점은 o로 표기하고, 극점은 x로 표기합니다.

따라서 위 시스템의 극점은 $s=-1, s=-3$이며, 영점은 $s=-2$ 입니다.

영점과 극점의 위치에 따른 시스템 안정성에 대한 내용은 추후 다루도록 하겠습니다.

[공업수학] 라플라스 변환(Laplace transformation)

슬기나무 — Fri, 13 Aug 2021 21:47:45 +0900

이번 포스팅에서는 라플라스 변환(Laplace transformation)에 대해 알아보겠습니다.

라플라스 변환(Laplace transformation)이란?

라플라스 변환은 선형 상미분방정식(Linear ordinary differential equation)의

해를 구하는 방법으로 유용하게 사용됩니다.

제어분야에서는 주파수역 접근법에 의한 동적 시스템의 해석을 위해 필요한

전달함수를 구하기 위해 사용하기도 합니다.

이 방법은 상미분방정식을 라플라스 변환을 통해 얻은 대수 방정식에

간단한 대수법칙을 적용하여 복소수 $s$로 표현되는 해를 구하고,

그 해를 다시 역라플라스 변환하여 상미분방정식의 해를 구합니다.

라플라스 변환을 수행하기 위해서는 어떤 유한 실수 $\sigma$에 대하여

아래 조건을 만족하는 함수 $f(t)$가 존재해야만 합니다.

$$\int_{0}^{\infty} \mid f(t)e^{-\sigma t}\mid dt < \infty$$

위 조건을 만족하면 함수 $f(t)$의 라플라스 변환 $F(s)$는 아래와 같이 정의됩니다.

$$F(s) = L\left\{f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt$$

여기서 복소수 $s=\sigma + j\omega$이고 $L\left\{\right\}$은 라플라스 연산자입니다.

라플라스 변환 예제

아래 지수함수에 $f(t)$에 대해서 라플라스 변환을 해봅시다.

$$f(t) \begin{cases}=0 & t < 0\\=Ae^{-\alpha t} & t \geq 0\end{cases}$$

여기서 $A$와 $\alpha$는 상수라고 합시다.

위에서 언급한 라플라스 변환의 정의에 의해 아래와 같이 계산됩니다.

$$F(s) = L\left\{Ae^{-\alpha t}\right\} = \int_{0}^{\infty} Ae^{-\alpha t}e^{-st}dt$$

$$=A\int_{0}^{\infty} e^{-(s+\alpha)t}dt$$

$$=\frac{A}{s+\alpha}$$

라플라스 변환에 관한 특성

라플라스 변환에는 알아두면 유용한 특성이 몇가지 있습니다.

1. 임의의 상수 $\alpha$와 함수 $f(t)$의 곱의 라플라스 변환은

$f(t)$의 라플라스 변환인 $F(s)$에 상수 $\alpha$를 곱한 것과 같습니다. 즉,

$$L\left\{\alpha f(t)\right\} = \alpha F(s)$$

2. 서로 다른 함수 $f_{1}(t)$, $f_{2}(t)$의 합 or 차의 라플라스 변환은

각 함수의 라플라스 변환의 합 or 차와 같습니다. 즉,

$$L\left\{f_{1}(t)\pm f_{2}(t)\right\} = F_{1}(s) \pm F_{2}(s)$$

3. 함수 $f(t)$에 대한 1차 도함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.

$$L\left\{\frac{d}{dt}f(t)\right\} = sF(s)-f(0)$$

4. 함수 $f(t)$에 대한 1차 적분의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.

$$L\left\{\int_{0}^{t}f(t)dt\right\} = \frac{F(s)}{s}+\frac{1}{s}[\int f(t)dt]_{t=0+}$$

5. $f(t)$에 $e^{\pm at}$를 곱한 함수의 라플라스 변환은 $F(s)$에서 $s$를 $s\mp a$로 치환한 것과 같습니다.

$$L\left\{e^{\pm at}f(t)\right\} = F(s\mp a)$$

6. 시간 $T$만큼 지연된 함수 $f(t-T)$의 라플라스 변환은 $F(s)$에 $e^{-Ts}$를 곱한 것과 같습니다.

$$L\left\{f(t-T)\right\} = e^{-Ts}F(s)$$

7. $f(t)$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 할 때, $f(t)$의 초기 값은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

$$\lim_{t \rightarrow 0} f(t) = \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)

이를 초기값 정리라고 하며, 라플라스 변환의 성질 중 매우 중요한 성질입니다.

8. $f(t)$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 할 때, $f(t)$의 최종 값은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

$$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} sF(s)

이는 최종값 정리라고 하며, 초기값 정리와 더불어 매우 중요한 성질입니다.

서로 반대의 극한이라고 생각하시면 되겠네요.

라플라스 변환표

라플라스 변환이 매우 유용한 방법임은 사실이나,

구할 때 마다 매번 적분하기엔 번거로운 것 또한 사실입니다.

그래서 일반적으로 변환표를 두고서 많이 이용하는데요.

아래와 같이 정리하였으니 유용하게 사용하시면 되겠습니다.

라플라스 변환표

여기까지 라플라스 변환에 대하여 알아보았습니다.

※ 위 내용은 시스템 모델링 및 제어(김종식 지음)를 참고하였습니다.

[재료역학] 원통형 압력용기에서의 응력

슬기나무 — Thu, 12 Aug 2021 23:04:37 +0900

이번 포스팅에서는 원통형 압력용기에서의 응력에 대해 알아보겠습니다.

원통형 압력용기에서의 응력

아래의 그림을 바탕으로 원주 방향과 길이 방향의 응력을 각각 구해봅시다.

원주 방향 응력

우선 용기의 벽에 작용하는 원주응력 $\sigma _{1}$과 내부 압력에 의한 합성력 $P_{1}$에 대해

평형방정식을 세워볼 수 있습니다.

원통형 압력용기에서의 응력. 출처 - Mechanics of materials, 7th Ed., Gere

$$\sigma _{1}(2bt)-2pbr=0$$

이 식으로부터 원통형 압력용기에서의 원주방향 응력을 구할 수 있습니다.

$$\sigma _{1} = \frac{pr}{t}$$

길이 방향 응력

길이 방향 응력 $\sigma _{2}$의 합력은 $\sigma _{2}(2\pi rt)$와 같고

내압에 의한 합력 $P_{2}=p\pi r^{2}$와 평형을 이루어야 합니다. 즉,

$$ \sigma _{2}(2\pi rt) - p\pi r^{2} = 0$$

위 식으로부터 길이 방향 응력을 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

$$ \sigma _{2} = \frac{pr}{2t}$$

각각 의 결과로 부터 우리는 원주 방향 응력이 길이 방향 응력의 2배임을 확인할 수 있습니다.

바깥 표면에서의 응력

바깥 표면에서의 최대 전단응력을 구해봅시다.

최대 전단응력은 3차원에서 각 축에 대해 45˚ 회전된 면에서 발생하며

수평인 길이방향을 x축, 수직인 원주방향을 y축이라 하면

z축에 대해 45˚ 회전된 면에서 발생하는 전단 응력은 아래와 같습니다.

$$\tau _{z, max} = \frac{\sigma _{1} - \sigma _{2}}{2} = \frac{pr}{4t}$$

x, y축에 대해 회전된 면에서 발생하는 전단응력은 아래와 같이 계산 됩니다.

$$\tau _{x, max} = \frac{\sigma _{1}}{2} = \frac{pr}{2t}$$

$$\tau _{y, max} = \frac{\sigma _{2}}{2} = \frac{pr}{4t}$$

위 결과를 비교하면 최대 전단응력은 x축(길이 방향 축)에 대해 45˚ 회전된 면에서 발생하며

그 크기는

$$\tau _{max} = \frac{\sigma _{1}}{2} = \frac{pr}{2t}$$

입니다.

안쪽 표면에서의 응력

안쪽 표면에서의 응력 상태는 다음과 같습니다.

$$\sigma _{1} = \frac{pr}{t}$$

$$\sigma _{2} = \frac{pr}{2t}$$

$$\sigma _{3} = -p$$

이 경우에서도 최대 전단응력은 각 축에 대해 45˚회전된 면에서 발생하고

각각 계산하면 아래와 같습니다.

$$\tau _{x, max} = \frac{\sigma _{1} - sigma _{3}}{2} = \frac{pr}{2t} + \frac{p}{2}$$

$$\tau _{y, max} = \frac{\sigma _{2} - sigma _{3}}{2} = \frac{pr}{4t} + \frac{p}{2}$$

$$\tau _{z, max} = \frac{\sigma _{1} - sigma _{2}}{2} = \frac{pr}{4t}$$

이 중 가장 큰 것은 x축에 대하여 회전했을 때이고, 그 값은 아래와 같습니다.

$$\tau _{max} = \frac{pr}{2t} + \frac{p}{2}$$

만약 용기의 벽이 매우 얇으면 위의 $p/2$는 무시가능하므로, 다시 쓰면 아래와 같습니다.

$$\tau _{max} = \frac{pr}{2t}$$

[재료역학] 구형 압력용기(pressure vessel)에서의 응력

슬기나무 — Wed, 11 Aug 2021 21:18:19 +0900

이번 포스팅에서는 압력용기에서의 응력에 대해 알아봅시다.

구형 압력용기에서의 응력

구형 용기 내의 응력을 결정하기 위해

구를 수직 지름 평면으로 자르고, 용기의 절반과 내용물에 의한 압력을

자유물체도로 그리면 아래 그림과 같습니다.

내부에서 압력 $p$를 받고있는 두께 $t$, 반지름 $r$인 구형 압력용기

압력은 균일하게 작용하므로 반구 내에 남아있는 유체의

평면 원형 면적에 작용하는 힘 $P$는 아래와 같습니다.

$$P = p(\pi r^{2})$$

그리고 용기와 하중의 대칭성으로 인해 인장응력 $\sigma$는 원주방향으로 균일합니다.

그렇기 때문에 이를 이용하여 벽 내부에 작용하는 인장응력의 합력은

응력과 이 응력이 작용하는 면적을 곱한 것과 같습니다. 즉,

$$\sigma (2\pi r_{m}t)$$

여기서 $t$는 벽의 두께이고, $r_{m}$은 $r+\frac{t}{2}$로써 용기의 평균 반지름입니다.

따라서 수평방향의 힘의 평형으로부터 아래와 같은 평형방정식을 구할 수 있습니다.

$$\sigma (2\pi r_{m}t) - p(\pi r^{2})=0$$

위 식으로부터 용기 벽 내분의 인장응력을 구할 수 있습니다.

$$\sigma = \frac{pr^{2}}{2r_{m}t}$$

만약 두께가 매우 얇다면 평균 반지름 $r_{m}$대신 $r$ 을 사용할 수 있으므로,

얇은 구형 용기의 벽 내부에 발생하는 인장응력은 최종적으로 아래와 같습니다.

$$\sigma = \frac{pr}{2t}$$

이 때 최대 전단응력은 수평인 $x$축 및 수직인 $y$축과 45도를 이루는 요소에서

구할 수 있으며, 이 요소의 최대 전단응력은 $\tau _{max} = \sigma /2$ 입니다.

따라서 최대 전단응력은 아래와 같습니다.

$$\tau _{max} = \frac{\sigma}{2} = \frac{pr}{4t}$$

[재료역학] 모어 원(Mohr's circle)

슬기나무 — Tue, 10 Aug 2021 21:08:13 +0900

이번 포스팅에서는 모어 원(Mohr's circle)에 대해 알아봅시다.

모어 원(Mohr's circle)

평면응력에서의 변환 공식은 모어원으로 쉽게 나타낼 수 있습니다.

모어 원은 응력을 받는 점에서 여러 경사면에 작용하는

수직 및 전단응력의 관계를 그림으로 보여주기 때문에

이해하는데에 매우 쉽습니다.

모어 원 예시. 출처: wolsong.koreasmc.co.kr

모어 원의 방정식

모어 원의 방정식은 평면응력을 다뤘던 공식을 변형하여 구할 수 있습니다.

[재료역학] 평면응력(plane stress) 및 경사면에서의 응력

이번 포스팅에서는 평면응력이 무엇인지, 그리고 경사면에서의 응력은 어떻게 구하는지에 대해 알아보겠습니다. 평면응력(plane stress) 재료의 $x, y$면에만 응력이 작용하고 모든 응력은 $x$축 및

study2give.tistory.com

$$\sigma _{x, \theta} = \frac{\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}+\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta + \tau _{xy}\sin 2\theta \tag{1}$$

$$\tau _{xy, \theta} = -\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2} \sin 2\theta + \tau _{xy}\cos 2\theta \tag{2}$$

식 (1), (2)는 평면응력 상태에서 경사면에서의 응력을 나타낸 공식입니다.

이 두 식을 살짝 변형시키면,

$$\sigma _{x, \theta} - \frac{\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2} = \frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta + \tau _{xy}\sin 2\theta \tag{3}$$

$$\tau _{xy, \theta} = -\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2} \sin 2\theta + \tau _{xy}\cos 2\theta \tag{4}$$

식 (3), (4)를 각각 제곱하여 더하면 $2\theta$에 관한 항은 소거되고

그 결과는 아래와 같습니다.

$$(\sigma _{x, \theta} - \frac{\sigma _{x}}{\sigma _{y}}{2})^{2} + \tau ^{2}_{xy, \theta} = (\frac{\sigma _{x} - \sigma _{y}}{2})^{2} + \tau ^{2} _{xy} \tag{5}$$

여기서 $\sigma _{avg} = \frac{\sigma _{x}}{\sigma _{y}}{2}$, $R = \sqrt{(\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2})^{2}+\tau ^{2} _{xy}}$라 하면

최종적으로 모어 원의 방정식은 아래와 같습니다.

$$ (\sigma _{x, \theta} - \sigma _{avg})^{2} + \tau ^{2} _{xy, \theta} = R^{2}$$

이제 위와 같은 원의 성질을 이용하여 경사면에서의 응력을 계산할 수 있습니다.